Espace euclidien

Cours d’algorithmique I. DÉFINITIONS a. Définition d’un algorithme : b. 4 Définition d’un algorigramme : Quelques symboles utilisés dans la construction d’un algorigramme : 1. Symbole général 2. Renvoi 3. Sous-programme 4. Entrée-Sortie 5. Commentaire 6. Branchement 4 II. 5 L’ ALGORITHME : Le langage de description d’algorithme III. STRUCTURE D’UN ALGORITHME 5 a. 1. 2. 3. 4. Représentation : L’en-tête Les déclarations Le corps

dans R et on additionne ensuite les termes semblables . Exemple : (2x3 + 3x2 − 5)(x + 2) = 2x4 + 3x3 − 5x + 4x3 + 6x2 − 10 = 2x4 + 7x3 + 6x2 − 5x − 10 4 A Division d’un polynôme par un polynôme La division euclidienne des polynômes Définition :Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le polynôme D(x), c’est déterminer les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que A(x) = D(x).Q(x) + R(x) Le polynôme A(x) est appelé le polynôme dividende. Le polynôme D(x) est appelé le

restitution organisée de connaissances. Dans le premier paragraphe de ce chapitre, on introduit la notion de diviseur et de multiple ainsi que les propriétés liées à ces notions. Dans le deuxième paragraphe, on définit la division euclidienne dans ‫ ,ގ‬puis la division euclidienne dans ‫ ,ޚ‬en se limitant, conformément au programme, au cas d’un diviseur positif. Dans le troisième paragraphe, on aborde les congruences en développant les démonstrations. Corrigés des activités préparatoires ACTIVITÉ

MATH-CHAPITRE 11: Distances & Lieux 1. Inégalité Triangulaire et Position Relative de 2 cercles 1.1 Inégalité Triangulaire Dans un triangle, la longueur de chaque côté -plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés -plus grande que la différence positive des deux autres côtés exemple: 7 2 3 7 >2+3 2 TANGENTS EXTÉRIEURS 01 02 = r1 – r2 ---> TANGENTS INTÉRIEURS 01 02 > r1 + r2 ---> DISJOINTS EXTÉRIEURS 01 02 < r1 – r2 ---> DISJOINTS INTÉRIEURS 01 02 = 0 ---> CONCENTRIQUES

II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : * par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² * en utilisant la géométrie : Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous : factorisation, développement, identités remarquables

y +2 Puisque cette inégalité concerne des entiers, on peut transformer cette inégalité stricte en l’inégalité large suivante x+y Exercice 3 : [énoncé] Si x x < x + 1/2 et y Exercice 5 : [énoncé] Posons m = nx et réalisons la division euclidienne de m par n : m = nq + r avec 0 r n − 1. On a nq + r nx < nq + r + 1 donc pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1} : x + y +1 y < y + 1/2 alors Si k + r < n alors x + Par suite n−1 x + y = x + y , 2x = 2 x et 2y = 2 y puis relation voulue

c) On en déduit directement que pour tout entier naturel n , wn1  wn  2 . La suite ( ) est donc arithmétique de raison 2 et de premier terme . d) Cet algorithme détermine le rang du premier terme de la suite ( ) inférieur ou égal à 0,000001. Il renvoie . e) L’algorithme ci-contre détermine le plus petit entier n1 tel que wn  10000 DEVOIR MAISON N°1 (correction) 1.  On considère la suite de nombres  un  définie par : u0  1 , u1  1 1 et pour tout entier naturel n , un

Im ⊆ [−3, 2] ; 5. Existe-il m tel que Im ∩ [−3, 2] = ∅. Exercice 5 : [ 6 points] Soit le polynˆme : o P (x) = x5 − x4 − 9x3 + 13x2 + 8x − 12. 1. Calculer P (−1) et P (1), puis conclure ; 2. D´terminer Q(x) le quotient de la division Euclidienne de P (x) par (x2 − 1) ; e e e e e 3. V´rifier que 2 est racine de Q(x), puis factoriser Q(x) via la m´thode des coefficients ind´termin´s ; 4. En d´duire une factorisation en ´l´ments simples de P (x). e ee Bonne Chance 

Mathématiques Classe de 1eS Septembre 2012 PARTIEL N°1 (2 heures) Calculatrice autorisée - Rendre l’énoncé NOM : ………………………………………… CLASSE : ……………… NOTE : EXERCICE 1 ( / 5) : QCM : Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s) Dans les 2 cas B/ et C/, le plan est muni d’un repère. A/ est un triangle, a. et et , alors sont colinéaires b. c. d. Dans le repère B/ Soit , la droite a pour équation , a. La médiane issue de et du triangle

∈ Z, alors n = 0, et comme x−n est aussi dans H , on peut supposer n > 0. Posons alors m le plus petit entier strictement positif tel que xm ∈ H . Évidemment xm ⊆ H . Soit maintenant xk ∈ H un élément quelconque de H . En effectuant la division euclidienne de k par m dans Z, on sait qu'il existe q, r ∈ Z tels que k = mq + r et 0 ≤ r < m. Or xk = xmq+r = (xm )q xr implique xr = xk (xm )−q ∈ H . D'où r = 0 à cause de la dénition de m. Ainsi, xk = (xm )q est un élément du sous-groupe xm , Finalement