Espace euclidien

Transformation de l'Espace I translation (rappel) soit un vecteur de l'espace et M un point de l'espace. La translation de vecteur est la translation qui a tout point de l'espace M associe le point M' tel que = II homothésie 1/definition soit O un point de l'espace et k un réel non nul. On appelle homothesie de centre O et de rapport k la transformation qui a tout point M de l'espace associe le point M' tel que =k on note hok ou egalement k(M)=M' exemple transformé de

x = a, alors on peut factoriser P(x) par (x – a) , on a : P(x) = (x – a) Q(x) où Q est une fonction polynôme de degré n – 1. Exemples : [pic], [pic]. c. Méthode de la division Si a est une racine du polynôme P, on effectue la division euclidienne de P(x) par (x – a) pour obtenir Q(x). Exercice 1 : Soit [pic]. Montrer que 2 est une racine de P. Factoriser le polynôme P par [pic]. II. Trinôme du second degré 1. Définition On appelle fonction polynôme du second degré

a : i^2=-1, i^3=i^2×i=-i ;i^4=〖(i^2)〗^2=1 ; i^5=i^4×i=i Pour tout entier naturel non nul n, il existe un unique couple (q,r)∈IN×IN tel que n=4q+r avec r∈{0,1,2,├ 3} ┤ , q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de n par 4. Ainsi i^n=i^(4q+r)=〖(i^4)〗^q×i^r=i^r Exemple : i^2008=i^(4×502+0)=i^0=1 ; i^2011=i^(4×502+3)=i^3=-i Identités remarquables 1-z^n=(1-z)(1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n )⟺1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n=(1-z^n)/(1-z) ,z≠1

Après avoir normalisé l'impédance de la charge, positionner le point A correspondant (par ex : 0,5-j0,7 sur la figure). Tracer le cercle des impédances de la ligne passant par A jusqu'à couper le cercle des résistances égales à 1 en tournant dans le sens horaire. On obtient le point B qui correspond à l'impédance du point D avant la mise en place du stub. L'arc FF' correspond à la distance entre le stub et la charge Ld. On calcule facilement Ld en additionnant la longueur 0F et 0F' puis en convertissant

exercice, on s'intéresse à la propriété « le nombre 3 2n – 2n est divisible par 7 », où n est un nombre entier naturel. 1. a) Existe-t-il un nombre entier naturel n pour lequel cette propriété est vraie? Justifier. b) Quel est le reste de la division euclidienne de 32 par 7 ? 2. a) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 9(32n – 2n) + 7  2n = 32(n + 1) – 2n + 1 b) En utilisant l'égalité précédente démontrer que, si pour un certain entier naturel n, 32n – 2n est divisible par 7, alors 32(n + 1)

dans l'enseignement et les apprentissages. la lettre TIC'Edu Mathématiques est par exemple une lettre d'information sur les usages, les ressources et les actualités de la discipline concernant la mise en oeuvre des TICE. J'ai pu y identifier les espaces ressources en terme de TICE sur l'académie de Lyon: le CRDP fait partie du dispositif académique d'accompagnement pour le développement des Technologies d'Information et de Communication pour l'Enseignement, ayant pour but de venir en aide aux acteurs

Devoir maison La partie GEOGEBRA ou GEOPLANW est à ENVOYER PAR EMAIL pour le 20 Novembre 2012 ATTENTION : CETTE PARTIE DU DEVOIR EST À FAIRE AVEC UN LOGICIEL de GEOMETRIE DYNAMIQUE. LE FICHIER DEVRA ETRE ENVOYÉ PAR EMAIL EN PIECE JOINTE À Mme. TREMELET pour le 20 Novembre 2012 1ère PARTIE : Recherche du logiciel GEOGEBRA ou GEOPLANW Pour ceux qui le souhaitent et qui le peuvent, il est possible d’installer le logiciel de géométrie dynamique sur votre ordinateur. (Logiciel GRATUIT)

méthodes concérnant certaines classe de fonctions : 1. −du 1+u2 = − arctan(u) + c = − arctan(cos(x)) + c. P Intégrale d'une fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments simples dans et donc Exemple 1 : Calculer R[x] de R(x) Q(x) . I= x−1 x3 +4x Dans cet

alors, le dernier résultat non nul.  ExempleDéterminer le PGCD des nombres 12 et 2828 – 12 = 1616 – 12 = 412 – 4 = 88 – 4 = 44 – 4 = 0Le dernier résultat, non, nul est 4, donc PGCD(12 ; 28) = 4  Algorithme d'Euclide   On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD, est, alors, le dernier diviseur.  ExempleDéterminer le PGCD de 360 et 128Le dernier diviseur, non nul, est 8, donc

multiple de 5.  On a   . Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang .  Le principe de récurrence permet de conclure.      2ème méthode : les congruences  On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de  par 5.  Si   Si  donc   Si  donc   Si  donc   Si  donc   La conclusion est immédiate.      3ème méthode : factorisation de     Si  alors   Si  alors  alors   Si  alors  alors   Si  alors  alors   La conclusion en découle.