Espace vectoriel quotient

  !!!!⃗   ������������       !!!!!⃗   ������������    II. La mécanique newtonienne : 1. Les notions de mathématiques nécessaires à la mécanique newtonienne :   La  force  est  une  grandeur  vectorielle.  En  effet,  tout  au  long  de  ce  travail  pratique,  on  fera  appelle  à  des   notions  de  mathématiques  telles  que  la  trigonométrie  et  les  vecteurs.  

Algèbre linéaire 1. Espace vectoriel. Sous-espace vectoriel Pour démontrer que E est un espace vectoriel, il est rare d’avoir à en démontrer toutes les propriétés. Le plus souvent, il suffit de démontrer que E est un sous-espace d’un espace vectoriel connu. Il est donc important de bien connaître les espaces vectoriels de référence. Pour montrer que F est un sous-espace d’un espace vectoriel de E, on peut montrer que F est l’intersection ou la somme de 2 espaces vectoriels ou que F est le noyau

l'objet d'un cours, mais seront introduits et réinvestis autant que besoin. 2- Structures algébriques: Les notions de structures (groupe, anneau, corps, espace vectoriel) seront introduites sous forme d'exemples mais ne feront en aucun cas l'objet d'un cours spécifique . Il est plus important que l'élève sache reconnaître un espace vectoriel (ou toute autre structure), plutôt que d'en connaître la définition générale. Il en est de même pour les notions de relations (ordre, équivalence). 3- Applications

2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46 6 L’anneau des polynˆ omes page 53 7 Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants page 90 11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace page 96 Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire page 105 12 Suites de nombres r´eels ou complexes page 109

Introduction et pr´sentation. e 1 Le langage math´matique e 2 Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es et formule

Théorie des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 17 L’espace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 1 Vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 2 Exemples d’applications

e3a PSI B - 2009 Un corrig´ e Exercice 1. 1. D’apr`s le th´or`me du rang ker(A) est de dimension 4 − rg(A) = 1 et est donc une droite e e e vectorielle. En particulier, 0 est valeur propre de A. 2. Avec les hypoth`se sur la somme par ligne des coefficients de A, on peut affirmer que (1, 1, 1, 1) e est vecteur propre de A associ´ ` la valeur propre 1. ea 3. 0 et 1 sont valeurs propres (et donc de multiplicit´ au moins 1) et −1 est valeur propre double. e La somme des multiplicit´s des valeurs propres

rapport à l'horizontale (d) est le quotient BH/CD, ou encore BH/AH. Dans un repère du plan, on peut l'exprimer par :       En termes de ponts et chaussées, la pente d'une route correspond à un sinus : la dénivelée entre deux points géographiques est la différence d'altitude entre ces deux points. La pente d'une route est alors la dénivelée par unité de parcours sur cette route (axe central) et non pas par rapport à l'horizontale. Il s'agit donc du quotient BH/AB = sin ^BAH et non pas de tan^BAH

( = 0 ( ( = 2. Les deux valeurs propres de f sont donc (1 = 1, (2 = 2. 2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A. 3. Pour (1 = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1. Pour (1 = 2, le sous espace propre associé à pour base (2, 1, 0), pour dimension 1. 4. La somme des dimensions des sous-espaces propres de f n'est pas égale à 3, donc f n'est pas diagonalisable. 5. u1 = (1, 1, 0). 6. u2 = (2, 1, 0). 7. x u1 + yu2 + z u3 = 0 est équivalent assez

logarithmique : (iv) Si pour tout t ∈ I, g(t) = 0 alors le quotient I → R est dérivable et : f (t) t→ g(t) f g = f g − fg f (t)g(t) − f (t)g (t) : I → R, t → g2 g 2 (t) fg fg = f g + f g qui permet des calculs plus simples, comme : 1.0.2 Remarques. 1. (a) L’ensemble D(I) = {f : I → R | f est dérivable} des fonctions réelles sur l’intervalle I qui sont dérivables est un sous-espace vectoriel de F(I) = {f : I → R}, l’espace vectoriel de toutes les fonctions réelles sur I et f g (b) l’application