Exercice De Math

1 re CD – math I – Géométrie analytique GEOMETRIE ANALYTIQUE Table des matières A) Systèmes linéaires ………………..…..……………………….. page 2 1) Définitions ……………...……………………………….…. page 2 2) Résolution d’un système linéaire par substitution …….…... page 2 3) Règle de Cramer …………………….…………….………. page 5 B) Géométrie analytique dans le plan (rappels)………………… page 9 1) Repères du plan ………………..………………………….. page 9 2) Calcul vectoriel dans un repère du plan …………………… page 9 3) Equations

Exercices Math 3ème créés par Pyromaths, un logiciel libre en Python sous licence GPLPage 1/ 4 Equations - http://www.toupty.com/exercice-math-3eme.html Classe de 3e Corrigé de l’exercice 1 Résoudre l’équation : 2 x + 3 4 + − 10 x + 8 6 = − 8 x + 8 3 (2 x + 3)×3 4×3 + (−10 x + 8)×2 6×2 = (−8 x + 8)×4 3×4 6 x + 9 − 20 x + 16 ✚✚12 = − 32 x + 32 ✚✚12 −14 x + 25 = −32 x + 32 −14 x + 32 x = 32 − 25 18 x = 7 x = 7 18 La solution de cette équation est 7 18 . Corrigé de l’exercice 2 Résoudre l’équation :

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Généralités sur les applications linéaires Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. – g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

´ Exercices - Relations d’ordre - relations d’equivalence : ´nonc´ e e Exercice 1 - Nature des relations - L1/Math Sup Dire si les relations suivantes sont r´flexives, sym´triques, antisym´triques, transitives : e e e 1. E = N et xRy ⇐⇒ x = −y ; 2. E = R et xRy ⇐⇒ cos2 x + sin2 y = 1 ; 3. E = N et xRy ⇐⇒ ∃p, q ≥ 1, y = pxq (p et q sont des entiers). Quelles sont parmi les exemples pr´c´dents les relations d’ordre et les relations d’´quivalence ? e e e Exercice 2 - Relation d’´quivalence et

convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé. Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1.

Exercices - Ensembles : inclusion - union - intersection application... : corrigé Exercices de base... Exercice 1 - Ecriture en extension - L1/Math Sup On a : A = {2, 3, 4, 5, 6} . Pour écrire B, on remarque que 1/2 ≤ n ≤ 7/2 =⇒ n =1,2 ou 3. Pour chaque valeur possible de n, on écrit les valeurs possibles de p, et on obtient : 1 3 1 2 4 5 B = 1, 2, , , , , , . 2 2 3 3 3 3 On n’a pas écrit plusieurs fois 1, qui s’obtient aussi avec 2/2 et 3/3. De même pour 2. Exercice 2 - Ensemble des parties

exercices de mathématiques 3ème racines carréesPage 1/ 3 racines carrées - http://www.toupty.com/exercice-math-3eme.html Classe de 3e Corrigé de l’exercice 1 ◮1. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme a √ b avec a et b entiers, b le plus petit possible. A = 5 √ 27 + √ 12 + 5 √ 48 A = 5 √ 9 × √ 3 + √ 4 × √ 3 + 5 √ 16 × √ 3 A = 5 × 3 × √ 3 + 1 × 2 × √ 3 + 5 × 4 × √ 3 A = 15 √ 3 + 2 √ 3 + 20 √ 3 A = 37 √ 3 B = √ 20 × √ 45 × √ 80 B = √ 4 × √ 5 × √ 9 × √ 5 × √ 16 × √ 5