Expression rationnelle

ECRITURES FRACTIONNAIRES I. Quotients égaux Propriété : soit a,b des nombres quelconques avec b ≠ 0. -a-b + ab et -a b = ab = - ab Produit en croix : Soit a,b,c,d des nombres quelconques avec b ≠ 0 et d ≠ 0. .Si ab= cd alors a×d = b×c .Si a×d = b×c alors ab=cd II. Opérations avec des écritures fractionnaires 1) Multiplication Règle : Pour multiplier des nombres en écriture fractionnaire on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux

un d´veloppement e e e e e d´cimal illimit´. e e Nous admettons donc comme intuitive, l’existence de l’ensemble IR des nombres r´els, e v´rifiant les propri´t´s suivantes: e ee 1 a) IR est un corps commutatif qui contient le corps des nombres rationnels Q. L’addition et la multiplication de IR prolongent celles de Q. I I b) IR est muni d’une relation (dite) d’ordre, not´e x ≤ y qui v´rifie par e e d´finition les propri´t´s suivantes: e ee i) ∀x ∈ IR, x ≤ x, (r´flexivit´). e e ii) ∀x, y ∈ IR, x ≤ y

(il y'en beaucoups ) ou une intégration par partie ou d'autres ; dans la suite on va donner une série de méthodes concérnant certaines classe de fonctions : 1. −du 1+u2 = − arctan(u) + c = − arctan(cos(x)) + c. P Intégrale d'une fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments

les nombres rationnels ( ℚ ) existent, quelles sont les équations ci-dessous qui ont des solutions : ( Barrer les équations que l'on ne peut pas résoudre ) 3–x=7 9x – 5 = 13 x² = -1 2x + 3 = 5 3x² = 9 6x + 7 = 6x + 5 4x = 5 2x² = 8 −4 x7=  2 Non 3x = -1 x÷4=5 3x = 0 2. Entourer la bonne réponse : L'ensemble ℚ permet-il de résoudre toutes les équations ? Oui Si on additionne deux rationnels, obtient-on un rationnel ? Oui Non Si on soustrait deux rationnels, obtient-on un rationnel ? Oui Non

Considérons également que x0 ∈ �� et �� ∈ ��. On peut former la fonction composée de f et g : E → F → G x → f(x) → gof(x) = g(f(x)) Si lim�� 0 �� = �� et lim�� �� = �� , alors lim�� 0 ������ = �� �� �� Exercice 1 : Application à l’étude des fonctions rationnelles, calcul de P(x)/Q(x) qd x→ +∞ lim�� →+∞ 5x+x 6 x+3x 6 −x 3 =? Conseil : on ordonne selon les puissances décroissantes de P(x) et de Q(x) puis on factorise par le terme de plus haut degré. Exercice 2 : trouver les limites en +∞ des fonctions

vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. x →2 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la limite du rapport des termes de plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité ƒ(a) si x tend vers a et si ƒ est définie en a. Une étude plus

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

b le plus petit possible : 200 = 100 × 2 = 100 × 2 = 102 × 2 = 10 2 On utilise ici la règle : a2 = a On utilise ici la règle : ab = a b L’intérêt de modifier ainsi l’écriture des racines est, par exemple, de pouvoir simplifier des expressions numériques contenant des racines et des sommes. 50 + 6 2 = 25 × 2 + 6 2 = 5 2 + 6 2 = 11 2 On préfère parfois ne pas avoir des fractions contenant des radicaux au dénominateur. Il existe quelques techniques permettant de l’éviter : A=

virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté D 4. Nombres rationnels Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers, autrement dit sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ . 5. Les nombres irrationnels Les nombre irrationnels comme leurs l'indique, sont des nombre qui ne sont pas rationnels, comme π , √ 2 , √ 3 etc..., il n'y a pas de notation pour l'ensemble

Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ⅅ 3 ⅅ ⅅ mais ⅅ 4. Nombres rationnels Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient avec un entier et un entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. Exemples : ℚ 4 ℚ -4,8 ℚ ℚ. 5. Nombres réels L'ensemble des nombres réels est noté ℝ. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de