Factorisation des polynômes

j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels . Q z = z − j z −  z  j z  n= z 2z 1 z 2−z 1 j j Ex 2 Montrer que l'équation : P  z= z 31−i  z 24−i  z− 4i=0 a une solution imaginaire pure ib avec b ∈ℝ . En déduire une factorisation de P(z) et les solutions de l'équation P(z)=0 . En remplaçant z par ib dans l'équation on trouve 3 2 2 3 2 P  z=−i b

peut-on savoir qu'une équation n'a pas de solution et n'est donc pas factorisable ? Et si des solutions existent, comment peut-on les déterminer sans factorisation ? Des formules permettent de répondre à ces questions. Il faut bien les connaître pour pouvoir les appliquer sans faire d'erreur de calcul. Il ne faut pas oublier également qu'une fonction polynôme du second degré se représente toujours par une parabole. De la position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, on peut déduire si

Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay L’anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une

LE BTS HÔTELLERIE Michel CHARRIER 18 janvier 2008 2 Chapitre 1 Equations et polynômes du troisième degré 1.1 1.1.1 Définitions Equation et polynôme du troisième degré Equation Toute égalité de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, b, c, et d sont des coefficients réels, a étant non nul. On se propose de donner des méthodes de résolution dans R dans le cas où une solution est "évidente". Polynôme du troisième degré à coefficients rationnels Toute expression de la forme : P (x) = ax3

. 8.3 Factorisation et logarithme discret . 8.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 La constante δ . . . . . . . . 8.4.2 Calcul d’intégrale multiple via 9 Polynômes 180 9.1 Polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1.1 Anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1.2 Représentation dense et représentation creuse . . . . . 184 Calcul mathématique avec Sage 9.1.3 Arithmétique euclidienne . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Polynômes irréductibles

carrés des deux autres côtés. G. Qu’est-ce que la quatrième proportionnelle à 3 nombres ? La quatrième proportionnelle à 3 nombres  a, b et c est le nombre x tel que a = c b = x 2. Factorisation et C.E : A. Qu’est-ce que factoriser un polynôme ? Factoriser un polynôme, c’est le transformer en un produit de facteurs. B. Méthodes : I. La mise en évidence (infinité de termes) II. Les produits remarquables : a) Le carré d’un binôme (3 termes, 2 carrés

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 3 4 5 6 7 8 x 3 II- fonction affine Déf : Soit a et b deux nombres réels. La fonction définie sur R par f(x) = ax + b est appelée “fonction affine”. Rque : Si a≠0, on parle de fonction polynôme de degré 1. Prop : Toute fonction affine est représentée par une droite (non verticale) d’équation(réduite) y = ax + b. ∆y a est le coefficient directeur : a = ∆x (taux d’accroissement moyen entre deux points) b est l’ordonnée à l’origine (intersection

0 0 x 1 F IG . 5.3 – Interpolation P en 2D Interpolation sur un élément finis P 1 Sur chaque élément ek du maillage, l’approximation f h par élément finis P 1 d’une fonction f (x, y) est un polynôme de degré 1 en x et y, qui s’écrit : h f|ek = ax + by + c Pour déterminer ce polynôme, il faut 3 points d’interpolation {Pj } j=1,3 et la valeur de la fonction {Fj = f (Pj )} j=1,3 en ces 3 points. Les 3 équations {P(x j , y j ) = Fj } j=1,3 h permettent alors de déterminer les 3 coefficients

pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; ]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; ] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; ]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; ]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; ]. 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; ], les abscisses

fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques. 2. Nos choix 3. Place dans la progression Les méthodes de résolution graphique d’inéquations ont été explicitées au chapitre 1. Elles ont été réinvesties dans les chapitres 3, 4 et 5 pour des résolutions avec des fonctions particulières. Les tableaux de signes ont été introduits dans chaque chapitre. L’étude de ce chapitre suppose la connaissance des règles de calcul algébrique sur les produits et quotients (factorisations, développements