Factorisation des polynômes

n’admet pas de solution réelle −b racine « double » γ = 2a 2 On ne peut pas factoriser le Factorisation : T ( x ) = a ( x − γ ) trinôme T dans ℝ . T ( x ) s’annule lorsque x = γ et est T ( x ) a le même signe que le du même signe que a ailleurs nombre a et ne s’annule jamais. Si ∆ = b 2 − 4ac > 0 , l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux racines réelles distinctes : −b − ∆ −b + ∆ α= et β = . 2a 2a Factorisation : T ( x ) = a ( x − α )( x − β ) Page 2/7 jgcuaz@hotmail.com Domaine de définition

(Cf. S. Stein, S. Szabó : Algebra and Tiling, 1994) Conjecture de Minkowski et théorème de Hajos Théorème de Hajós (1942) Soit G un groupe abélien fini et soient a1, a2, …, an n éléments de G. Si l’on suppose que le groupe admet comme factorisation la somme directe des sous-ensembles A1, A2, …, An suivants : Conjecture de Minkowski (1896/1907) Dans un pavage simple [simple lattice tiling] d’un espace à n dimensions par des cubes unités, il y a au moins un couple de cubes qui ont en commun

solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme (z – 2)(az 2 + bz + c) = 0 où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera. 2 3 + 2(2 2) – 16 = 8 + 8 – 16 = 0 donc 2 est solution de l’équation (E). On en déduit que le polynôme du 3ème degré peut se factoriser par (z – 2) : z 3 + 2z 2 – 16 = (z – 2)(az 2 + bz + c) = az 3 + bz 2 + cz – 2az 2 – 2bz – 2c = az 3 + ( b – 2a )z 2 + ( c – 2b )z – 2c Par identification des termes

2 3 2 Racines du trinôme 2.1 Définition . . . . . . . . . 2.2 Le discriminant est positif 2.3 Le discriminant est nul . . 2.4 Le discriminant est négatif 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 6 3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines 3.1 Factorisation du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

réelle, 0 ; Cette formule est utile en particulier pour linéariser les polynômes trigonométriques (dans le but par exemple de calculer leurs intégrales). Un polynôme trigonométrique est une somme de termes du type (sin θ)p (cos θ)q avec p, q ∈ N ; le linéariser, c’est l’exprimer comme une somme de termes de la forme sin kθ ou cos kθ. Pour cela, on commence par remplacer grâce à la formule de Moivre dans le polynôme eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ et cos θ = . Puis, à l’aide de la tous les cos θ

http://mathemitec.free.fr/index.php Ds 01 Terminale S – Septembre 2007 EXERCICE 4 – 3 points Soit P le polynôme définie par P( x) = x 3 + 7 x 2 + 2 x − 40 . L’objectif est de déterminer le signe du polynôme P sur ℝ . 1. Montrer que 2 est racine de P. 2. En déduire l’existence d’un polynôme Q de degré 2 tel que P( x) = ( x − 2 ) Q ( x) puis déterminer ce polynôme Q. 3. Terminer la factorisation du polynôme P. 4. Conclure. EXERCICE 5 – 4 points Objectif : on cherche à démontrer le résultat admis en 1ère

u, v  1/ a- Résoudre dans  l’équation z 5  1 (I) b- Placer dans le P les points images A, B, C, D et E des solutions de l’équation (I). 4 3 2 2/ On considère le polynôme Q(Z)  1  Z  1  Z  1  Z  1  Z  1 a- Vérifier que : Z  Q(Z)  1  1  Z b- Résoudre dans  l’équation Q(Z)  0 (II) c- En déduire une factorisation de Q(Z) en un produit de quatre binômes. 3/ Montrer que AB  AC  AD  AE  5 5 EXERCICE 4 (7 points ) On considère les suites U et V définies sur  par : U0  0

d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.6 Puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.1 Monômes, polynômes, principes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.2 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6 Corrigé des exercices du premier chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 6 Chapitre 6. Second degré Activités et applications 1. Fonctions polynômes de degré 2 Activité 1. a) Tracés sur l’écran d’une calculatrice. b) Les branches de P1 sont orientées vers le haut et le coefficient a de f1 est strictement positif. Les branches de P2 sont orientées vers le haut et le coefficient a de f2 est strictement positif. Les branches de P3 sont orientées vers le bas et le coefficient a de f3 est strictement négatif. Les branches de P4 sont orientées vers le bas et

– h sont dans Df et f(a – h) + f(a + h) = 2b 2. POLYNOMES DU SECOND DEGRE Définition-Théorème: Une fonction P définie sur est appelée fonction polynôme lorsqu'il existe un entier naturel n et des nombres réels an, an–1, ……, a1, a0 tels que, pour tout x ∈ I, R, on ait: P(x) = anxn + an–1xn–1 + …… + a1x + a0 Toute fonction polynôme s'écrit de manière unique sous cette forme (appelée forme réduite du polynôme); le nombre n s'appelle degré du polynôme, les réels an, an–1, ……, a1, a0 sont ses coefficients