Factorisation des polynômes

291 292 293 294 295 297 18.5 18.6 18.7 18.8 19 Polynômes 19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Les ensembles K[X] et Kn [X] . . . . . . . . . . 19.1.2 Évaluation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 19.2 Opérations usuelles dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . . 19.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Composition des polynômes . . . . . . . . . . . 19.2.4 Dérivation . . . . .

+¥ x 1 ö æ lim ç 3 + ÷ = +¥ xø è 1 Conclusion : lim (3x + x ) = +¥ x® 0 + x · lim (x2 + x + 15) = ? (forme indéterminée du type "+¥ - ¥"). Donc, par somme : x® 0 + x ® -¥ Méthode : factorisation(1) par le terme de plus haut degré (pour les limites de fonctions polynômes en æ 1 15 ö x2 + x + 15 = x2 ç 1 + + 2 ÷ x x ø è +¥ ou -¥ uniquement) : Or : Donc, par produit : Conclusion : æ 1 15 ö lim x2 = +¥ et lim ç 1 + + 2 ÷ = 1 x®-¥ x®-¥ è x x ø 1 15 æ ö lim

+ 3 = 3 et x® 0 + x® 0 lim + 1 = +¥ x 1 ö æ lim ç 3 + ÷ = +¥ xø è 1 Conclusion : lim (3x + x ) = +¥ x® 0 + x · lim (x2 + x + 15) = ? (forme indéterminée du type "+¥ - ¥"). x ® -¥ Méthode : factorisation(1) par le terme de plus haut degré (pour les limites de fonctions polynômes en +¥ ou -¥ uniquement) : æ 1 15 ö x2 + x + 15 = x2 ç 1 + + 2 ÷ x x ø è æ 1 15 ö lim x2 = +¥ et lim ç 1 + + 2 ÷ = 1 x®-¥ x®-¥ è x x ø 1 15 ö æ lim x2 ç 1 + + 2 ÷ = +¥ x ® -¥ x x ø è 2 lim (x + x + 15) = +¥

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

produits et de puissances, re-écriture de fractions partielles, re-écriture de fonctions trigonométriques comme exponentielles, etc. ; différentiation relative à une ou plusieurs variables ; optimisation globale, qu'elle soit conditionnelle ou non ; factorisation partielle ou complète) * les logiciels de calcul numérique, qui sont plutôt conçus pour les applications des mathématiques. Dans la première catégorie on trouve, entre autres, Maple, Mathematica et MuPad. Dans la deuxième catégorie, où le

impérativement débuter par le domaine de validité de cette équation : il faut en effet s’assurer que les solutions, si elles existent, sont telles que x 2+4x+3 et -2x−5 soient strictement positifs. • Pour le polynôme du second degré x 2+4x+3 : On calcule son discriminant =b 2−4ac=42−4×1×3=4 ; comme >0, le polynôme est du signe de a (c'est-à-dire positif) à l’extérieur de ses racines qui sont : x1= -b− =-3 et x2=-1. 2a • -2x−5>0ñ−2x>5ñx0 et b>0 : lna=lnbña=b ln(x 2+4x+3)=ln(-2x−5) ñx 2+4x+3=-2x−5 ñ x 2+6x+8=0

duplication Quand ces expressions ont un sens cos 2a = cos2 a − sin2 a sin 2a = 2 sin a cos a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a 1 + cos 2a cos2 a = 2 sin2 a = tan 2a = 2 tan a 1 − tan2 a 1 − cos 2a 2 Corollaire 3.3 Formules de factorisation a+b a−b cos 2 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 a+b a−b cos 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos sin a + sin b = 2 sin Proposition 3.2 Paramétrage rationnel du cercle trigonométrique

longueur du côté [HE]. 2)Comment appelle-t-on ce polynôme C2(x). 3Donner deux exemple d’un polynôme du second degré b) En déduire la forme générale d’un polynôme du second degré. Activité 2 : Soit P(x) = ax2+bx+c, a ≠0, (b, c) € R2, un polynôme du second degré. Consigne1 1)Ecrire P(x) sous forme canonique. 2)On pose Δ = b2 – 4ac (le réel Δ s’appelle discriminant de P(x). a)Déterminer suivant le signe Δ et lorsque cela est possible une factorisation de P(x) 4 b) En déduire lorsque cela

.............................................................................................................33 EQUATIONS DU DEUXIEME DEGRE ......................................................................................................44 POLYNOMES...............................................................................................................................................58 PUISSANCES ET LOGARITHMES ..........................................................................

10x 2 o) x 4 − 1 n) (3x + 7)2 − (2x + 9)2 Equation du second degré Exercice n˚ 14 Résoudre dans C les équations : b) iz 2 + iz + 1 + i = 0 a) 2z 2 − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0 c) (1 − i)z 2 − (5 − i)z + 10 = 0 Exercice n˚ 17 Factoriser les polynômes suivants. a) x 3 + 1 b) x 3 − 6x 2 + 11x − 6 c) 4x 3 + 12x 2 + 9x + 2 d) −x 3 + 2x 2 − 2x + 4 e) −2x 3 − x 2 + 5x − 2 f) −3x 4 − 4x 3 + 7x 2 + 4x − 4 d) z 2 − 2iz − 1 + 2i = 0 e) z 4 − z 2 + 1 = 0 g) −7x 5 + 12x 4 + 9x 3 − 10x 2 h) x 4 −