Factorisation des polynômes

est sous forme développée, avec a = 3, b = −4 et c = −10. d. f4 est sous forme factorisée, avec a = −1, x1 = 2 et x2 = − 3. e. f5 n’est sous aucune des trois formes. On développe et on réduit pour obtenir : f5(x) = −18x − 9. Il ne s’agit pas d’un polynôme du second degré mais d’une fonction affine. f. f6 n’est sous aucune des trois formes. On développe et on réduit pour obtenir : f6(x) = 2x2 + 2x + 41. Il s’agit d’un trinôme du second degré, sous forme développée avec a = 2, b = 2 et c = 41. g. f7

Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x − 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; π] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X − 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; π]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; π]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; π]. 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; π], les abscisses des points

Moakher Septembre 2011 Table des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 Environnement Matlab Commandes d’environnement Éléments d’aide de Matlab Opérations arithmétiques simples, scalaires et chaînes de caractères Construction et opérations sur les vecteurs Polynômes Construction et opérations sur les matrices Structures conditionnelles et itératives 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 5 7 7 8 9 11 11 14 Opérateurs booléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Structure conditionnelle ‘if’ . . . . . . . .

∞ – ∞ : cela peut arriver quand x tend vers l’infini et que f est un polynôme … Exemple : lim ( 1 x 2 − 1000x − 10.000) ? x → + ∞ 100 RÈGLES On prend la limite du monôme du plus haut degré : x2 1 )= lim ( x 2 ) = + ∞ (noter que l’on vient de faire appel à une limite de référence). … = xlim ( → + ∞ 100 100 x →+ ∞ ∞ : cela peut arriver quand x tend vers l’infini et que f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) … ∞ 100x 2 + 1000x + 10.000 Exemple : xlim∞ ( 3 ) ? →+ x − 5x 2 − 3x

toutes ses Catalogue > variables et sur un dénominateur commun. La factorisation de Expr1 décompose l'expression en autant de facteurs rationnels linéaires que possible même si cela introduit de nouveaux nombres non réels. Cette alternative peut s'avérer utile pour factoriser l'expression en fonction de plusieurs variables. cFactor(Expr1,Var) factorise Expr1 dans C en fonction de la variable Var. La factorisation de Expr1 décompose l'expression en autant de facteurs possible qui sont linéaires

Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d’apprendre ` a e o • effectuer des op´rations dans l’ensemble des polynˆmes, • utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynˆmes, dans la simplification des fractions o rationnelles et dans la r´solution d’´quations, e e • utiliser la m´thode des coefficients ind´termin´s lors de la r´solution de certaines applications. e e e e 3.2 3.2.1 Vocabulaire(Rappels) Monˆmes o  e  a est un coefficient r´el (a ∈ IR);

Méthode de Newton-Raphson. Chapitre 2 : Interpolation polynomiale 2 semaines 1. Introduction générale, 2. Polynôme de Lagrange, 3. Polynômes de Newton. Chapitre 3 : Approximation de fonction : 2 semaines 1. Méthode d’approximation et moyenne quadratique. 2. Systèmes orthogonaux ou pseudo-Orthogonaux. Approximation par des polynômes orthogonaux, 3. Approximation trigonométrique. Chapitre 4 : Intégration numérique 2 semaines 1. Introduction générale

. . . . . . . . . 5 Factorisation de polynômes 5.1 Polynômes de degré n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Factorisation de polynômes du deuxième degré . . . . . . . . 5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle 5.5 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux

précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a de la façon suivante : a. Cas où  > 0 : b. Cas où  = 0 : Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que: x1 = x2 = x0 = et se factorise comme suit : a x² + b x + c = a (x – x0)2 Tableau de signes : x x0 Signe de a Signe de a Signe de a Signe de (x – x0)2 + + Signe de a x² + b x + c = a (x – x0)2 Signe de a Signe de a c. Cas où  < 0 : La factorisation du trinôme a x ² + b x + c

des fonctions polynômes, racines d’un polynôme A. Définitions On appelle fonction monôme toute fonction définie sur ℝ de la forme ‫→ ݔ‬ On appelle fonction polynôme toute fonction égale à une somme de fonctions monômes. Le degré d’une fonction polynôme est le degré de son monôme de plus haut degré. On note : ௡ ‫ܲ → ݔ‬ሺ‫ ݔ‬ሻ = ܽ௡ ‫ ݔ‬௡ + ܽ௡ିଵ ‫ ݔ‬௡ିଵ + … + ܽଵ ‫ ݔ‬ଵ + ܽ଴ ‫ ݔ‬଴ = ෍ ܽ௠ ‫ ݔ‬௠ ௠ୀ଴ On appelle fonction rationnelle toute fonction égale au quotient de deux fonctions polynômes. Math L1 :