Factorisation des polynômes

II.Complexes, polynômes, équations, systèmes d'équations Complexes: I désigne le complexe i. Instructions associées aux complexes: evalc(…); Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation:

effectuer des opérations mathématiques sur les expressions algébriques. Il est aussi possible de les réduire en termes plus simples. Les fiches suivantes portent sur ces différentes notions: Du monôme au polynôme Les opérations sur les expressions algébriques La factorisation d'un polynôme La simplification des fractions rationnelles La notion d'équation et la traduction d'un énoncé La notion d'inéquation et la traduction d'un énoncé Les méthodes générales de résolution d'équations La résolution

possible que la manière de rédiger dans la correction soit légèrement différente de celle que vous apprenez cette année en cours. Cela reste néanmoins un bon entraînement pour vous … Exercice 1 : Etude d’une équation (6,5 points) Partie A Soit le polynôme P défini sur IR par P(x) = 4 x3 – 8 x2 + 3 x + 1 a) Vérifier que 1 est une racine b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, P(x) = (x – 1) (a x2 + b x + c) c) Résoudre l’équation P(x) = 0 Partie B     Dans un repère orthonormé

4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points) Résoudre l'inéquation

s’identifie avec la troisième identité remar- quable avec : a = x ; b = 4 On a la factorisation : x2 − 16 = ( x+ 4 )( x− 4 ) b. On a l’égalité suivante : x2 − 10x+ 25 = x2 − 10x+ 52 Par identification avec la seconde identité remarquable, on choisit : a = x ; b = 5 Ainsi, le terme du double-produit doit avoir pour valeur : −2×a×b = −2×x×5 = −10x Ce double-produit correspond au terme en “x” de l’expression. On en déduit la factorisation : x2 − 10x+ 25 = (x− 5)2 c. L’expression x2−2x+1 s’identifie à la seconde

(x − 2) = (−5x + 2) + 2 3 4 12 38 x + 3 4x − 3 5x − 12 − −1=− 2 3 6 47 (4x − 3)2 48 (5x − 2)2 49 (3x − 8)(3x + 8) 50 (3x + 2)2 − (x − 3)2 51 (2x + 1)(2x − 1) + (1 − 3x)2 52 (2x + 1)3 Factoriser avec un facteur commum Factoriser les polynômes suivants à l’aide d’un facteur commun : Développements Développer, réduire et ordonner les expressions algébriques suivantes :   2 53 P(x) = 18x − 27 54 P(x) = 4x2 − 3x 55 P(x) = 5x2 − 7x 11 octobre 2010   E

 3 3 1 2 ( ) : 0 2 5 x x E x     1) a)-Vérifier que : ² 6 5 ( 3)² 4x x x     b)- En déduire les solutions de l’équation : ² 6 5 0x x   . L’écriture ( 3)² 4x  est appelée l’écriture canonique du polynôme ² 6 5x x  . 2) Donner l’écriture canonique du polynôme ² 2x x  puis résoudre l’équation ² 2 0x x   . De façon générale : Soit ( ) ²p x ax bx c   un trinôme du second degré tels que ,a b et c des réels et 0.a  On a : 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥

...................................... 2 Propriété I.2 – Lien entre coefficients et racines ....................................................................................................................... 2 Propriété I.3 – Création d’un polynôme avec deux racines souhaitées............................................................................ 2 II. INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ .........................................................................................................

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

décimal illimité périodique. Il suffit en effet d'effectuer la division du numérateur N par le dénominateur D. Deux cas peuvent se présenter : 1) La factorisation première de D ne contient que les facteurs 2 et 5. Le nombre rationnel est alors un nombre décimal limité. 13 13 = = 3,25 4 2.2 17 17 = = 0, 85 20 2.2.5 € 1) La factorisation première de D contient d'autres facteurs que les facteurs 2 et 5. Le nombre rationnel est un nombre décimal illimité périodique. 3 Ratio : raison