Faille normale

distribués selon une loi normale multivariée  * L'approche moyenne-variance des préférences peut être également justifiée en supposant que les rendements des actifs financiers sont distribués selon une loi normale multivariée. * En effet, une distribution normale est complètement caractérisée par son espérance et sa variance ; tous les moments centrés d'ordre supérieur à 2 peuvent s'écrire sous la forme de fonctions de ces deux premiers moments. * De plus, les lois normales étant stables par

bois, on effectue une étude afin d'améliorer la rentabilité. La fabrication d'une table nécessite 12 planches. La probabilité qu'une planche présente un nœud dans le bois, ce qui la fragilise est de 0,04. 2 Une table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n'est pas mise en vente, si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de planches fragiles

P (Bt ≥ a) = = = = = P (Ta P (Ta P (Ta I(s P (Ta 2 ∞ t, Bt ≥ a) (par continuit´ du brownien) e t, Bt − BTa + BTa ≥ a) t, Wt−Ta ≥ 0) (car BTa = a) t)P (Wt−s t) 0)dPT a (s) (car P (x, y) = P (x|y)P (y)) Ainsi, en utilisant que Bt est une loi normale de N (0, t), on a : 2 P (Ta t) = ( tΠ )1/2 a e 2t dx t Par le changement de variable x = a( s )1/2 , on trouve : x2 P (Ta t) = a 0 t (2Πs3 )−1/2 e−a 2 /2s ds 2 On en conclut que la densité de Ta est f (s) = a(2Πs3 )−1/2

15 I- Loi normale :....................................................................................................................................15 1- Définition :...................................................................................................................................15 2- Loi normale centrée réelle : .........................................................................................................15 3- Fonction de répartition d’une variable normale continue

loi binômiale B ( 64;0,5) . 2) a) On a : m = n × p = 64 × 0,5 = 32 et σ = npq = 64 × 0,5 × 0,5 = 4  Y − 32 36,5 − 32  b) p (Y ≤ 36,5) = p  ≤  = p (T ≤ 1,12 ) 4  4  p (Y ≤ 36,5) = 0,869 . où T suit la loi normale N ( 0;1) . Par lecture dans le tableau des valeurs de la loi normale centrée réduite : Π (1,12 ) = 0,8686 . Donc : Troisième partie 10 1) p ( X ' = 10 ) = C100 × 0,110 × 0,990 = 0,132 . 2) a) λ = n × p = 100 × 0,1 = 10 . b) p (Y ' ≥ 2 ) = 1 − ( p (Y ' = 0 ) + p (Y ' = 1)

2ème année de Master – Spécialité Acoustique et Fluides http://www.loa.espci.fr/master_acoustique Traitement du signal – Formulaire donné pour l’examen Série de Fourier (SF) fP : signal analogique, périodique de période T0. On pose ω0 = 2π f 0 = 2π T0 . ∀t, fP (t ) = n = −∞ ∑ A n e jnω0t avec A n = ∞ 1 T0 T0 2 − T0 2 ∫ fP (t )e − jnω0t dt Transformée de Fourier (TF) fa(t) : signal analogique Fa (ω) = TF{fa } = ∫ fa (t )e − jωt dt fa (t ) = TF −1 {Fa } 1 Fa (ω)e jωt

Introduction aux outils d’analyse quantitative. Chapitre I : Les matrices. Exemple d’introduction : Un étudiant veut aller manger. Il mangera soit au restaurant soit chez lui. Il veut savoir lequel des deux est le plus avantageux. On note x le prix du restaurant et y le prix à la maison. Dans la première semaine, il va 4 fois au restaurant et une fois chez lui donc nous avons : 4x + y = 51 Dans la seconde semaine, il va deux fois au restaurant et trois fois chez lui, nous avons :

Poisson 8 3.4. Loi normale 8 3.4.1. Définition 8 3.4.2. Loi normale centrée réduite N (0;1). 9 3.4.3. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale 10 4. Somme de deux variables aléatoires 10 4.1. Indépendance de deux variables aléatoires 10 4.2. Espérance mathématique d’une somme de variables aléatoires 10 4.3. Variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes. 11 4.4. Somme de deux variables aléatoires suivant des lois normales 11 4.4.1. Lois normales 11 4.4.2. Lois

Avec une probabilité supérieure ou égale à 0,85, les cadeaux « grands gagnants » en stock suffiront pour récompenser les « grands gagnants » s’ils sont au nombre de 7 pour un jour donné. 0,5 1 3. 1 Partie C : loi normale Y − 40 . La variable aléatoire T suit la loi normale n(0 ; 1). 6 Après avoir centré et réduit, on obtient : P(− 1 ≤ T ≤ 1) = 2Π (1) − 1 ≈ 2 × 0,8413 − 1 ≈ 0,68 . T= Remarque : certains candidats peuvent connaître le résultat (l’intervalle est centré sur la moyenne et son amplitude

: P(X=x) = q(x-1)p E(X) = 1/p Var(X) = q/p2 X≅G(p) - x Loi de Poisson : P(X=x) = (e λ )/x ! λ : quantité moyenne du phénomène E(X) = λ Var(X) = λ X≅Po(λ) T=∑Xi≅Po(nλ) Lois continues : Lois normales : ϕ(x) = (1/(2π)1/2)*exp(-x2/2) E(X) = ∫xϕ(x)dx = 0 de -∝ à x Var(X) = ∫x2ϕ(x)dx = 1 de -∝ à x X≅N(0,1) loi normale centrée réduite P(X ≤ x) = φ(x) voir dans les tables P(X ≤ 0.5) = 0.6915 Y = σX + µ E(Y) = µ Var(Y) = σ2 Y≅N(µ,σ2) 1/2 Ex) Y≅N(5,4) P(Y ≤ 6) = P((Y-5)/4 ≤ (6-5)/ 41/2 ) = P(Y* ≤ 0.5) = 0.6915