Fonction du second degré

DÉRIVATION : Sujet d'introduction : la chute libre d'un corps LA LOI Un corps en chute libre, lâché sans vitesse initiale a parcouru au bout de t secondes la distance d(t) (en mètres) d(t) = 5t2 exprimée par : Calculer la distance parcourue par le corps en chute libre au bout de 0, 1, 2, 3, 4, 5 secondes. Tracer la courbe représentative C de la fonction d sur l'intervalle [0 ; 5]. A) LE POINT DE VUE CINÉMATIQUE 1. Calculer la vitesse moyenne du corps en chute libre dans les intervalles de temps

f(x)=a(x-(-2))(x-1) ou a(x+2)(x-1) = a(x²+x-2) éq a -2a=2. Donc a=-1. En développant, on trouve f(x)=-x²-x+2 3. Comme la parabole passe par l’origine, c=0. ax² + bx + 0 On sait que x=3 et f(3)=1 On a donc f(3)= ax3²+bx3+0 = 9a+3b=1 Donc la fonction est f(x)= (3x)carré+3b-1 Exercice 2 : 1. Pour trouver b(x), on remplace b(x) et x par leurs valeurs. On a donc 900= -40carré +160x40 +c 900= -1600 + 6400 +c 2500= 6400 + c 0= 3900 +c

le tableau de variation de la fonction g : x   x²  8x sur 2) [ AB ] est un segment de longueur 8 cm et M est un point de ce segment distinct des extrémités A et B . 1 1 On pose AM = x avec 0 < x < 8 . On note f la fonction définie par f ( x)  .  AM BM 8 a) Démontrer que pour tout x  ] 0 ; 8 [ , f ( x)   x²  8 x b) Dresser le tableau de variation de f sur ] 0 ; 8 [ . En déduire la position de M pour laquelle f ( x) est minimal. Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur ℝ – 1 par f ( x)

722/724 DS03 – Exponentielle et Equations différentielles 24 nov 2008 Exercice I - Vrai ou Faux (0,5 si juste; -0,25 si faux; 0 si pas de réponse : de 0 à 2 points) x –x x –x e e e –e f  x = g  x= Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par : et 2 2 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Pour tout réel x on a g  x=– f  – x 3. Pour tout réel x on a [ f  x ]2 – [ g  x ]2=1 2. Pour tout réel x on a g  x f  x0 4. Pour tout réel x on a 2 f  x g

manuel collaboratif MathS 2 de Statistiques Probabilités • Fonctions • Géométrie Ce manuel est publié sous licence libre « CC by SA ». Le texte intégral est disponible à l’adresse : http:/creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/legalcode SOMMAIRE STATISTIQUES – PROBABILITÉS 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les sondages ont pris une place

Séquence 6 1ère partie : Dérivation (2) : application aux variations des fonctions e 2 partie : Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale Séquence 6 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Dérivation (2) : application aux variations des fonctions Sommaire 1. Pré-requis 2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 –

proposition 2 : Pour tout réel a, on peut développer grâce à la Proposition 1 la quantité V ar(X + aY ) ≥ 0 : V ar(X + aY ) = V ar(X) + V ar(aY ) + 2Cov(X, aY ) = V arX + a2 V ar(Y ) + 2aCov(X, Y ) par la Propriété 1 ≥ 0. (3.1) Le polynôme du second degré en a étant de signe constant, son discriminant est négatif ou nul : 4 (Cov(X, Y ))2 − 4V ar(X)V ar(Y ) ≤ 0, d’où l’inégalité recherchée. Remarquons au passage que le cas d’égalité se produit lorsque le discriminant de l’équation (3.1) est nul.

de la tangente en 2 à C f . 4. Tracer cette tangente sur le graphique. Exercice 3 : 3 points Ci-contre le graphique d’une fonction f et quelques-unes de ses tangentes. On ne demande pas de justifications. 1) Compléter : f ' ( −2 ) = f '(0) = f ' ( 2) = f ' ( 4) = 2) Valeurs de ‫ݔ‬ Signe de ݂ ᇱ (‫)ݔ‬ 1 Exercice 4 : 12 points I. R.O.C : u et v sont deux fonctions dérivables sur I. 1. Compléter les formules suivantes : « Pour tout réel ‫ ݔ‬de I, si ݂(‫ )ݔ(ݒ × )ݔ(ݑ = )ݔ‬alors ݂ est dérivable

Æ vn+1 = 8 − un+1 = 8 − 1 1 un + 4 2 1 1 1 1 = 8 − un − 4 = 4 − un = (8 − un ) = vn 2 2 2 2 1 On a donc vn+1 = 2 vn , on en déduit que (vn ) est bien géométrique de raison 2 . 3. En déduire une expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n. ¶ Puisque (vn ) est géométrique de raison ¶ On en déduit que, pour tout n ∈ 1 2 Æ, un = 8 − 5 × on sait que, pour tout n ∈ 1 n . 2 Æ, vn = 5 × 1 n . 2 4. a. Question de cours : prouver qu’une suite géométrique

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D’UN POLYNOME MESURANT LES COTES D’UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P (X) = X 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P (X) = Q X + où Q(X) = X 3 + pX + q b2 bc 2b3 et q = d − + . 3 3 27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement