Fonction exponentielle

Fonctions exponentielles et logarithmes On voit ici les propriétés de deux fonctions fondamentales : l’exponentielle et le logarithme. Il faut bien comprendre qu’il y a différentes manières de définir l’exponentielle mais que ces définitions sont équivalentes entre elles. Le logarithme étant la réciproque de l’exponentielle, ses propriétés découlent de celles de l’exponentielle. 1. La fonction exponentielle Définition Il existe une nique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle

Fiabilité: Aptitude d’un système à accomplir une fonction requise dans des conditions d’utilisation données et pendant un temps donné. • Maintenabilité: Aptitude d’un système à être remis dans un état de fonctionnement donné, dans des limites de temps spécifiées, lorsque le travail est effectué selon des procédures prescrites et des conditions données. Z. Cherfi 2 SDF DEFINITIONS • Disponibilité: Aptitude d’un système à accomplir une fonction requise dans des conditions d’utilisation données

} { { ) } ) ( ) ( ) ) ( )(( ( ) ) ) ( ) Formulaire des lois de probabilités continues usuelles Lois de probabilités Notation Cadre Densité de probabilité ( ) Loi Uniforme Loi Exponentielle Loi Normale ou Gaussienne ( ) ( ( ( ) [ { ( ) ] ( ( ) { ( ) ) { - Temps d’attente entre l’arrivée de deux clients à une caisse. - Durée de vie d’un composant électronique. ) La loi normale

UNIVERSITAIRE 2003/04 1 RAPPELS MATHEMATIQUES ......................................................................................................................... 3 I. FONCTION GENERATRICE, TRANSFORMEE DE LAPLACE, TRANSFORME EN Z ................. 3 I.1. I.2. I.3. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE : FONCTION GENERATRICE .................................................................. 3 VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE : TRANSFORME EN Z ...................................................

Introduction et Modèle Statistique 5 7 11 11 15 15 16 17 18 21 23 27 27 29 29 30 33 37 37 39 40 43 46 48 51 51 54 54 56 57 57 3 Chapitre 1. Introduction Chapitre 2. Modèle Statistique 1. Définition 2. Modèle d’échantillonnage 3. Vraisemblance 4. Familles Exponentielles 5. Modèle position-échelle 6. Exercices Partie 2. Estimation ponctuelle Chapitre 3. Statistique et Estimateur Chapitre 4. Construction d’estimateurs 1. Estimateurs empiriques (des moments) 2. Méthode de substitution 3. Méthode des moments 4.

p > 0 (situation d’équiprobabilité), pourquoi aboutit-on à une contradiction ? 1.2 Intégrale généralisée d’une fonction Définition 1. • Soit f une fonction définie et continue (par morceaux au moins) sur un intervalle I = [a, b[ (où b peut être +∞) (Respect. sur un intervalle I =]a, b] où a peut être −∞). On dit x que l’intégrale de f sur I est convergente si la fonction F → F (x) = f (t)dt (respectivement a b f (t)dt), où x ∈ I, a une limite finie quand x tend vers b (resp. x

EXO 1 DM 1. f′(x)=e2x+2(x−1)e2x−1=(2x–1)e2x–1 f′(0)=−1–1=−2 limx→+∞(2×−1)=+∞  limx→+∞e2x=+∞ Donc limx→+∞f′(x)=+∞   2. f»(x)=2e2x+2(2×−1)e2x =4xe2x.   3. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout x≥0 on f»(x)≥0. Cela signifie donc que la fonction est f′ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [0;+∞[. De plus f′(0)=−1–1=−2 et limx→+∞f′(x)=∞. 0∈]−2;+∞[. D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires)

de probabilité de ?. Définition : "Fonction de répartition d’une variable aléatoire" Soit ? une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω. La fonction de répartition de ? est l’application ? définie sur ℝ par : ?(?) = ?(? ≤ ?) Propriétés : Soit ? une variable aléatoire réelle discrète définie sur un univers Ω. ? 1. Si ?(Ω) = {?1 , ?2 , … , ? ? }, alors ∑ ?=? ?(? = ? ? ) = ? . ?(? > ?) = ? − ?(? ≤ ?) pour tout réel ?. 3. La fonction de répartition ? de ? est constante sur

DOC4MAMATRC00011    Page 2  http://www.najah.com            V(X) = E( (X –E(X))² )= E(X²)‐ (E(X))²        On appelle écart type de X le nombre   σ ( X ) =  V(X)   Fonction de répartition d’ une variable aléatoire  Soit ( Ω , P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire définie sur  Ω     On appelle fonction de répartition de X , l’application définie de IR dans  [ 0,1]  par  f : x → p( X ≤ x )     Loi binomiale ou Schéma de Bernoulli  Un schéma de Bernoulli se résume par : 

b tel que l’image par x → ax+b de [0, 1] soit I puis : U = rand(1); X =a∗U +b 2. Inversion de la fonction de répartition Rappel du théorème fondamental : Proposition 1. Soit F une fonction de répartition. On appelle fonction quantile la fonction F − (u) = inf {x : F (x) ≥ u}, u ∈]0, 1[ Alors si U est une variable de loi uniforme sur [0, 1], la variable X = F − (U ) a pour fonction de répartition F. Ainsi, à partir d’un générateur de loi uniforme sur [0, 1], on peut en principe simuler