Impédance caractéristique

polynôme caractéristique de cette matrice en calculant son déterminant : det(M (x∗ , y ∗ ) − rI) = (a11 − r)(a22 − r) − a12 a21 = r 2 − (a11 + a22 )r + (a11 a22 − a12 a21 ). Ce polynôme du second degré admet deux racines négatives (ou a partie réelle négative) si et seulement si : (1) det(M ) = (a11 a22 − a12 a21 ) > 0 (2) tr(M ) = (a11 + a22 ) < 0 Ces deux conditions garantissent la stabilité de l’équilibre stationnaire (x∗ , y ∗ ). Le signe du déterminant de l’équation caractéristique permet de

MATHEMATIQUES (Semestre 4 ) – ALGEBRE II – Travaux Dirigés -TDProfesseur : M.REDOUABY Série d’exercices Quelques corrigés Partie 1 Exercice 1 On considère les trois matrices suivantes :         −2 0                 7 ; B= A= 0 3 0 5 0 C= 0 4                         0 −11 −11 Exercice 1 1) Calculer : 2A -3B + 4C ; det((A-B+2C) ) 3 Exercice 1 2)

17 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier

dans ℳ? (ℂ), et que son inverse est la matrice +∞ (?ei? )−1 ?(?ei? )−? ? ? ?=0 III.B.2) Montrer que, pour tout ? ∈ ℕ∗ et tout ? assez grand, la matrice 2? 1 ? (?ei? ) ? (?ei? ?? − ?)−1 d? 2? 0 vaut ? ?−1 . III.B.3) On considère le polynôme caractéristique ? ?? (?) = det(? − ? ⋅ ?? ) = ? ?? ? ? ?=0 Montrer que pour ? assez grand : ?? (?) = 2? 1 ? (?ei? )?? (?ei? )(?ei? ?? − ?)−1 d? 2? 0 III.B.4) En déduire que ?? (?) est la matrice nulle. On pourra faire intervenir des comatrices. IV Étude

La fonction indicatrice de l’ensemble des rationnels Souvent, beaucoup d’élèves de ma classe de terminale S sont très faibles en mathématiques (cependant qu’ils se débrouillent ou surnagent approximativement dans d’autres disciplines). Je ne peux donc pas fréquemment quitter le strict cadre de la préparation à l’épreuve du baccalauréat et je donne des devoirs (facultatifs) à la maison pour ceux de mes élèves, hélas peu nombreux, qui continueront l’an prochain à étudier les mathématiques ou la

dont les coefficients sont définis par f[i,j] – A.B; Renvoie le produit de A et de B – A^^(n); Renvoie la puissance nième de A. – eigenvalues(A); Renvoie les valeurs propres de la matrice A. – charpoly(A, x), expand; Renvoie le polynôme caractéristique de A. – determinant(A); Renvoie le déterminant de A. Résolution de f(x)=c sur [ a, b] – find_root(f(x)=c,x,a,b) : Renvoie une valeur approchée des solutions de f(x)=c sur [a,b]. Les équations différentielles – ode2('diff(y,x)+y=0,y,x); :

Matrices 2012 - 2013 1/9 Sommaire 1 Matrice 2 Opérations sur les matrices Matrices 2012 - 2013 3/9 Matrice Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de R comportant n lignes et p colonnes. Elle s'écrit :    a1,1 ··· a1,n    . . . .. . . . . ou ai,j am,1 ··· am,n 1≤i≤n 1≤j≤p ou (ai,j ) où aij ∈ R est l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont

par récurrence. Donck = (¡1)n. 3) Il faut et il su¢t que le terme dominant de Q soit (¡1)nXn : ² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition: det(tCp ¡ In)

n }. L’objectif principal du sujet est d’établir le résultat suivant : toute matrice inversible de Mp (C) est TPC. Dans la partie I, on traite quelques exemples et contre-exemples. Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice A est scindé, on peut ramener l’étude au cas des matrices de la forme λIp + N avec N nilpotente. Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c’est-à-dire de la forme Ip + N avec N nilpotente et on en déduit le théorème

2) Le déterminant de A : [pic] 3) Le polynôme caractéristique de A : [pic] 4) Le spectre de A :[pic] [pic]Ces attributs permettent entre autre de calculer systématiquement [pic] Exemple [pic] [pic] PROPRIETE (Théorème de Cayley-Hamilton appliqué au cas 2[pic]) O est la « matrice nulle » : [pic]I est la « matrice identité »: [pic] Pour la matrice [pic]on a toujours: [pic] « On remplace [pic]par la matrice A dans le polynôme caractéristique de A » Conséquence [pic] Exercice 1) Vérifier