Isomorphisme

de Im f dans E. On sait que la restriction f de f à F réalise un isomorphisme de F sur Im f . D’autre part dimKer f = dimG < +∞ et donc Ker f et G sont isomorphes. Soit ϕ un isomorphisme de Ker f sur G. On définit une unique application linéaire g en posant g/Ker f = ϕ et g/F = f . g est un automorphisme de E. En effet, g(E) = g(Ker f + F) = g(Ker f ) + g(F) = ϕ(Ker f ) + f (F) = G + Im f = E, (puisque ϕ et f sont des isomorphismes) et donc g est surjective. Par suite g est bijective de E sur lui-même

multiple commun de p et q, on aura MZ ⊂ pZ et de même MZ ⊂ qZ, ce qui fait que mZ ⊂ pZ ⊂ qZ = mZ ainsi m/M et par conséquent m = ppcm(p, q). Remarque 3 : G =< a > est un groupe cyclique d’ordre n, l’application : ϕ: Z/nZ −→ G ¯ k → ak est un isomorphisme de groupe, et par conséquent : a k est un générateur de G ssi k est premier avec n. s.hajmi@gmail.com Chapitre: STRUCTURES: COMPLÉMENTS 3 Corollaire 1 : Z/pZ est un corps si et seulement si p est un nombre premier. 7 L’anneaux

que f est un endomorphisme de E. 2. Montrer l’´quivalence e f est bijective ⇐⇒ A et B sont premiers entre eux. Exercice 12. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et ϕ une application lin´aire de E dans F . Montrer que ϕ est un isomorphisme si e et seulement si l’image par ϕ de toute base de E est une base de F . 4 Morphismes particuliers Exercice 13. Soit E l’espace vectoriel des applications de R dans R, P le sous-espace des fonctions paires et I le sous-espace des fonctions

)=0_F ; f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation

que , c'est-à-dire que l’application de dans définie par est un morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il s’agit donc d’un morphisme de magma (c'est-à-dire que si f est injective ( a les mêmes propriétés que est alors un isomorphisme). Une idée naturelle de prolongement est de passer de à , c'est-à-dire du magma au monoïde en ajoutant le 0. Au niveau intuitif, cela n’a pas beaucoup de sens (cf.supra). Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification

F. 66 Corps finis – Propriétés élémentaires (3/3) •  Théorème: Tout corps fini est de cardinal q=pm et est isomorphe à Fp si m=1; Fp[X]/(h(X)) sinon, avec h F[X] irrédcutible de degré m. Réciproquement: Pour tout q=pm, il existe (à un isomorphisme près) un unique corps de cardinal q, noté Fq. •  Théorème: Fq* = ( {x Fq; x≠0}, * ) est un groupe cyclique. Un générateur γ de Fq* est appelé élément primitif : Fq* = { 1, γ, γ2, …, γq-2 }. •  Théorème: Il y a ϕ(q-1) éléments primitifs.  

produit.) e a e Cette application est ´videmment Q-lin´aire. e e Elle est injective. En effet : y ∈ ker ϕ ⇒ xy = 0 ⇒ y = 0 car x = 0. Ainsi ϕ est un endomorphisme injectif de l’espace vectoriel de dimension finie KE . On en d´duit que ϕ est un isomorphisme de KE . e En particulier, il existe y dans KE tel que ϕ(y) = 1, c’est-`-dire tel que xy = 1. a Cela signifie que l’inverse de x dans R pour le produit est y, c’est-`-dire un ´l´ment de KE . a ee Autrement dit : tout ´l´ment non nul de KE

génératrice de Im(u) et finalement que ′ la famille (u(ei ))1≤i≤r est une base deImu. 2 ème solution. (en supposant acquis l’énoncé général du théorème du rang). On sait que la restriction de u à G, supplémentaire de Ker(u) dans E, réalise un isomorphisme de G sur Im(u). On en déduit que l’image par u de la base ′ ′ ′ (e1 , . . . , er ) de G est une base de Im(u). On a de nouveau montré que la famille (u(ei ))1≤i≤r est une base deImu. http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous

+ yI) = −I ⇔ 2 Il y a deux solutions : M =± 1 − (α2 2 + 4β2 ) 2 x(α2x + 2y) = 0 β2 x2 + y2 = −1 (2F − α2I) Posons par exemple X = Soit Φ : F xI + yX → → 1 (2F − α2I) , la famille (I, X) est une base de F − (α2 + 4β2) 2 C , Φ est un isomorphisme de corps , F est un corps isomorphe a C ` x + iy M98PP1C.tex - page1 d) Si a = 3 et b = c = -2 , α2 = 1 et β2 = 2 et α2 + 4β2 > 0 donc F n’est pas un corps 2 Les matrices non inversibles (xF + yI) v´rifient y 2 + xy − 2x2 = 0 soit x = y ou

Bernard Enjolras (Associations et Isomorphisme institutionnel), qui s’est attaché à étudier l’influence du processus d’isomorphisme institutionnel dans le secteur associatif, affirme que celui-ci conduit à une domination de « l’activité instrumentale » (orientée vers le succès) de l’association sur « l’activité communicationnelle » de l’association (centrée sur sa finalité et ses valeurs). Il semble nécessaire à ce stade de s’interroger sur les sources de cet isomorphisme dans le secteur associatif :