Isomorphisme

◦ u est lin´aire. e e D´f. 17. Soient E, F des K-ev. On appelle isomorphisme de E dans F une application e de E dans F qui est lin´aire, bijective et dont la r´ciproque est lin´aire. e e e Rq. 18. Soient E, F des K-ev. Soit u un isomorphisme de E dans F . Alors u−1 est un isomorphisme de F dans E. Lemme 19. Soient E, F des K-ev. Soit u : E → F une application lin´aire. On suppose e que u est bijective. Alors u−1 est un isomorphisme. D´f. 20. Soit E un K-ev. On appelle endomorphisme de E une application

application est linéaire. Ils montrent u(λ.x + µ.y) = λ.u(x) + µ.u(y) puis u(0E ) = 0F . Pour se faire repèrer comme n’apprenant pas son cours, il n’y a pas mieux. Vocabulaire Endomorphisme : application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même. Isomorphisme : application linéaire bijective. Automorphisme : endomophisme bijectif. Technique Pour répondre à la question usuelle « Montrer que u définit un endomorphisme de E », il faut montrer d’une part que si un vecteur x est dans E, u(x) est encore dans

?× ?→ ? . ?, ?) ↦ ? ∗ ? { ?× ? → ? ( ?, ?) ↦ ? ∙ ? MORPHISME Soient (E, ○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗)

D'où : En conséquence Im(θ) est un sous-groupe de Bij(G). De plus, θ est injectif. En effet : θ(g) = θ(g') ✁ ∀x ∈ G, θ(g)(x) = θ(g')(x) ✁ ∀x ∈ G, ϕg(x) = ϕg' (x) ✁ ∀x ∈ G, gx = g'x g = g' ✁ On en déduit que θ induit un isomorphisme de G sur Im(θ θ). Et comme Bij(G) et le groupe symétrique Sn sont isomorphes, on en déduit le théorème de Cayley. Théorème de Cayley Page 1 G. COSTANTINI 

Soit E un K-e.v. de dimension p in N* , de base B = ( e1 , e2 , … , ep ) Soit F un K-e.v. de dimension n in N* , de base B’ = ( e’1 , e’2 , … , e’n ) L’application phi : L(E,F) -------à M_n,p(K) définie par : u ----à M[u,B,B’] est un isomorphisme de K-e.v. Par conséquent : dim L(E,F) = dim M_n,p(K) = np Voila . Les résultats du trimestre ont été pour beaucoup mauvais , voire calamiteux . Donc , plus que jamais tolérance ( – l’infini ) sur le travail et la connaissance du cours

sur-famille d’une partie génératrice est une partie génératrice. L’image par une surjection linéaire d’une famille génératrice est une famille génératrice. L’image par une injection linéaire d’une famille libre est une famille libre. L’image par un isomorphisme d’une base est une base. L’image par une application linéaire u d’une famille génératrice est une famille génératrice de imu. L’image d’une famille liée par une application linéaire est une famille liée. On a le Théorème : Soient E et F deux espaces

homotopy types on A, is characterized by a natural universal property. In particular, the theory of Kan extensions extends to the setting of Grothendieck derivators. Contents 1 2 3 4 5 6 Densité homotopique du plongement de Yoneda Calcul local: isomorphismes de changement de base La propriété universelle de HotA La propriété universelle de Hot•,A Sorites monoïdaux: D-algèbres et D-modules Catégories de modèles monoïdales 609 615 619 627 635 645 Introduction Ce texte fait suite à deux autres articles:

n−1 (R) × Rn−2 , qui envoie la matrice M qui s’´crit e   m1,n   . .   M1 .    M = mn−2,n      mn−1,1 . . . . . . mn−1,n−1 mn−1,n  mn,1 . . . . . . mn,n−1 mn,n sur (M1 , m1,n , mn−1,1 , mn−1,3 , mn−1,4 , . . . , mn−1,n−2 ) est un isomorphisme d’espace vectoriel. 4. En d´duire la dimension de M G(n). e Applications des matrices Exercice 19 - Matrices et suites - L1/Math Sup Soient (an ), (bn ) et (cn ) trois suites relations de r´currence : e   an+1  b  n+1  c n+1 r´elles telles

ln x + Propriété II.4 La fonction ln est une bijection strictement croissante de ]0; +∞[ sur R vérifiant : x→+∞ lim ln x = +∞ et x→0 lim ln x = −∞ Remarque : ln est donc un homomorphisme bijectif de groupe. On dit que c’est un isomorphisme de groupe de (R∗ , ×) sur (R, +) + Exercice 2.5 ∗ 1. Montrer que : ∀x ∈ R+ , ln(x) ln x =1 2. Montrer que lim x→1 x − 1 x − 1. Quel est le cas d’égalité ? II.2 Fonction exponentielle Propriété II.5 La fonction ln est une bijection

(E) sur chacun des intervalles ]0,1] et [ −1, 0[ . 2. En déduire que (E) admet une unique solution sur [ −1,1] Exercice n°4 : ( d’après une partie d’ ICARE 96 ) Rappel : On dit que deux ensembles sont isomorphes si on peut construire un isomorphisme de l’un vers l’autre 1. Soit ( A, +, × ) un anneau non commutatif, si x est un élément de A, on note : C ( x) = { y ∈ A, xy = yx} Cet ensemble est appelé centralisateur de x, montrer qu’il est un sous anneau de A 2. A est désormais l’ensemble