Isomorphisme

→ S6 , une fois une num´erotation des 5-Sylow de G choisie. Montrer que l’image α(G) = H est contenue dans A6 . (b) On consid`ere l’action de A6 par translation `a gauche sur l’ensemble A6 /.H des classes `a gauche. Montrer qu’elle d´efinit un isomorphisme ϕ : A6 → A6 , une fois une num´erotation des ´el´ements de A6 /.H choisie. (c) Montrer que ϕ(H) est le fixateur de la classe de l’´el´ement neutre H, et en conclure que G A5 . Exercice 15 Soient p < q deux nombres premiers distincts et G un groupe

+, ·) un anneau unitaire. b = a + b + 1 et a b = a · b + a + b. Notons 0 et 1 respectivement le neutre pour + et pour ·. On munit l’ensemble A de deux opérations : a 1. Montrer que (A, , ) est un anneau. , ) définie par f (a) = a − 1 est un isomorphisme 2. Montrer que l’application f : (A, +, ·) → (A, d’anneaux. Exercice 8 m et n sont deux entiers naturels premiers entre eux. Montrer que l’anneau Z/mnZ est isomorphe à Z/mZ × Z/nZ Exercice 9 Soit Q[ı] = {a + bı tels que (a, b) ∈ Q2

définit une loi de composition interne sur G par x y = x a y. a) Montrer que (G, ) est un groupe. b) Soit H un sous groupe de (G, ) et K = sym(a) H = {sym(a) x/x ∈ H}. Montrer que K est un sous groupe de (G, ). c) Montrer que f : x → x sym(a) est un isomorphisme de (G, ) vers (G, ). [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Corrections 2 Corrections Exercice 1 : [énoncé] f (xy) = (xy)n = xn y n = f (x)f (y) donc f est une endomorphisme de (R , ×). ker f = f −1 ({1}) et Imf =

 seront donc les mêmes que dans  en remplaçant i2 par -1 ou vice versa. Considérons l'application : Alors j est un morphisme de corps. En effet : Nombres complexes Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Donc j induit un isomorphisme entre les corps (, +, ´) et j() = {(a, 0) Î , a Î }. On peut donc identifier les éléments de  avec ceux de j(). L'ensemble  contient donc une "copie" de . Par la suite, on note donc simplement + et ´ les deux lois de  et lorsqu'un couple

implique x = y, si et seulement si le noyau de f est ´gal ` {e}. a e a Exercice 2 (Le cercle unitaire). (1) Montrer que l’application R → GL2 (R) est un morphisme de groupes. (2) Quelle est son image ? (3) Quel est son noyau ? (4) D´terminer un isomorphisme de groupes de SO(2) sur U := {z ∈ C ; |z| = 1}. e Exercice 3 (Union et intersection de sous-groupes). Soit un G un groupe et soient H1 et H2 deux sous-groupes de G. 1 D´finition 3 (Morphisme de groupes). Soient (G, ⋆, e) et (G′ , ⋆′ , e′ ) deux

caract´ ristique. e e ´ Epreuve de Math´ matiques II e 2/3 −→ Concours National Commun – Session 2006 – PSI 5. Exemple On consid` re l’application Φ : M2 (C) −→ M2 (C) d´ finie par e e ∀ M ∈ M2 (C), Φ(M ) = Tr (M )I2 − M. (a) Montrer que Φ est un isomorphisme de l’espace vectoriel M2 (C). (b) D´ terminer les valeurs propres de Φ et les sous-espaces propres associ´ s. Est-ce que Φ est e e diagonalisable ? ˆ (c) V´ rifier que Φ conserve le polynome caract´ ristique. e e (d) Expliciter une matrice P ∈ GL2

GCP 2001 COMPOSITION de MATHEMATIQUE II (Série MP) v GCP 2001 Math II MP Partie I 1) En développant par rapport à la première ligne on trouve det CP = (¡1na0, d’où le résultat. 2) Le plus rapide est de développer par rapport à la dernière colonne, on trouve alors ÂCP (X) = (¡an¡1 ¡ X) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¡X 0 : : : 0 1 ¡X . . . 0 . . . . . . ... 0 : : : 1 ¡X ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ + an¡2 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¡X 0 : : : 0 1 ¡X . . . ... 0 : : : 1 ¡X 0 0 : : : 0 1 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¡ : : : et on

e Ses ´l´ments z = (x, y) sont appel´s nombres complexes. ee e Proposition L’ensemble IK = {(x, 0), x ∈ IR} est un sous-corps de C. l L’application f : x → (x, 0) est un isomorphisme de corps de IR sur IK. Cons´quence e De cette mani`re (IR, +, ×) apparait comme un sous-corps de ( C, +, ×). e l Cet isomorphisme permet d’identifier le complexe (x, 0) avec le r´el x. e I.2 Notation cart´sienne e Dans le corps ( C, +, ×), on note i = (0, 1). l Pour tout z = (x, y) de C, on constate

Relations avec la multiplication externe . A ∈ Mnp (K) , B ∈ Mpq (K) A (λB) = (λA) B = λAB PROP : si λ∈K COROLLAIRE : (Mn (K) , +, .(int.)) est un anneau. Cet anneau n’est ni intègre, ni commutatif dès que n ........... → .......... la bijection est un isomorphisme d’anneaux. ........... → .......... D6 2 ; de plus, III) STRUCTURE DE K-ALGÈBRE (HORS PROGRAMME). DEF : soit E un ensemble muni de 2 lois de composition internes de composition externe à opérateurs dans K + E2 → E (x, y) → x + y ∗ et E2

© 2008 - Gérard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon