K-moyennes

de 9 %. 6. Taux d’intérêt moyen de plusieurs placements k Placements 1 ≤ ������ ≤ ������ ������������ ������������ : intérêts ������������ périodes p ������������ : taux d’intérêt d’une période p Une période p (1 jour, 1 mois, 1 trimestre, 1 semestre, 1 année) L’intérêt global procuré par les k placements est la somme des k intérêts: ������ ������������ = ������=1 ������������ × ������������ × ������������ Définition: Le taux d’intérêt moyen (d’une période p) est le taux d’intérêt

46 9,2 Le tableau, ci-dessus, indique les temps de présence, dans le système, des processus. La dernière colonne décrit le temps moyen passé par chaque processus. Il est clair que, sur cet exemple, la stratégie SJF est la meilleure. Solution de l'exercice 2 Comme pour l'exercice précédent, on trouve ci-dessous la chronologie des événements : P1 P2 P3 total moyenne FIFO 4 6 4 14 4,66 LIFO 4 7 1 12 4 SJF 6 2 4 12 4 SRT 7 2 1 10 3,33 HRN 6 3 4 13 4,33 RR 7 4 2 13

Constitution d’un échantillon Prélevons, dans la population P, un échantillon aléatoire de taille n et désignons par K la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre des éléments qui possèdent le caractère C et par F la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe la fréquence f du K caractère C. Alors F = . On suppose n petit par rapport à N donc K suit la loi binon miale B(n, p). 3. 2. Distribution d’échantillonnage des fréquences Soit l’ensemble de tous les échantillons

confrontations entre les individus. Le principe est que chaque individu se retrouve au moins 30 fois proposant et en moyenne 30 fois répondant. A l’issue de ces confrontations, l’application affiche les gains moyens de chacun des individus. * L’utilisateur dispose alors d’un bouton « trier ». Celui-ci lui permet d’organiser le damier selon une répartition croissante des gains moyens réalisés par chaque individu. * La commande « répartir » est une forme de redistribution des gains. En

´chantillon de taille n. On prendra n = 4 puis n = 40. e 1. On observe dans l’´chantillon la variable al´atoire Y , d´pense hebdomadaire e e e pour la culture. On trouve Y = 12 euros et s = 6 euros. Donner dans les deux cas, une estimation de la d´pense moyenne dans le groupe et la pr´cision de e e cette estimation. 2. On observe dans l’´chantillon 75% de femmes. Donner dans les deux cas, une e estimation de la proportion de femmes dans le groupe et la pr´cision de cette e estimation. 3. Commentez les r´sultats

− l x + n +1 = n p x q x+n lx EXEMPLE : probabilité à 40 ans de décéder entre 70 et 71 ans 30 q 40 = 767.741 − 750.022 = 0.018 965.973 17 Ass vie Devolder/Gilles 3. Espérance de vie Définition de l’espérance de vie à l’âge x : Moyenne à l’âge x du nombre d’années restant à vivre Espérance de vie abrégée : ( décès en début d’année): ex = ∑ t t =1 ω− x t qx = ∑ t t =1 ω− x d x+t lx Espérance de vie complète : ( décès en milieu d’année): ex = ex + 0

SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Plan de sondage 2.2.2 Probabilit´s d’inclusion e 2.3 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE AVEC REMISE (PEAR) 2.3.1 Plan de sondage 2.3.2 Probabilit´s d’inclusion e 2.4 VARIABLES INDICATRICES 2.5 ESTIMATEUR 2.6 ESTIMATION D’UNE MOYENNE 2.6.1 Sondage al´atoire PESR e 2.6.2 Sondage al´atoire PEAR e 2.7 ESTIMATION D’UN TOTAL 2.7.1 Estimateur de τ ˆ 2.7.2 Esp´rance de τ e ˆ 2.7.3 Pr´cision de τ e 1 2.8 ESTIMATION D’UNE PROPORTION 2.8.1 Estimateur de π ˆ 2.8.2 Esp´rance de π e

idéales 1- On suppose l’interrupteur K ouvert a- Tracer la courbe représentative de la tension V2 (t) b- Calculer la valeur moyenne V2m de cette tension V2(t). 2- On suppose l’interrupteur K fermé. a- Expliquer qualitativement le fonctionnement de ce circuit et montrer que la tension V2 conserve pratiquement une valeur presque constante si la valeur de C est suffisamment grande pour que R0C >> T. b- de l’approximation ainsi faite, déterminer la valeur moyenne de V2 (t) et le taux d’ondulation ∆V2

Fonction de r´partition empirique . . . . . . e 2.2.2.3. Les graphes de probabilit´s . . . . . . . . . . e 2.3 Indicateurs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Indicateurs de localisation ou de tendance centrale . . 2.3.1.1. La moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.2. Les valeurs extrˆmes . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1.3. La m´diane empirique . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1.4. Caract´risation des indicateurs de localisation e 2.3.2 Indicateurs de dispersion ou

450 [20, 30[ 3 25 625 75 0 0 0 1875 [30, 40[ 4 35 1225 140 10 100 400 4900 1000 7250 N=10 250 Prof. Mohamed El Merouani i 12 6 18/12/2014 1 X= N • La moyenne k ∑n c i =1 i i • Formule non-simplifiée de la variance 1 k 2 Var ( X ) = ∑ ni (ci − X ) N i =1 • Formule simplifiée de la variance 1 k  Var(X) =  ∑ n i c i2  − X 2  N i =1  Prof. Mohamed El Merouani 13 Exemple de calcul de la variance:: (c 2 − X ) ni (ci − X ) nici 2 2 [ei-1, ei[ ni ci ci2 nici