Le K

Combinatoire et dénombrement - Spécialité Mathématiques III - Combinatoire et dénombrement Objectifs : — Utiliser une représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, diagrammes) dans le cadre d’un problème de dénombrement. — Démontrer la relation n∑ k=0 ( n k ) = 2n. — Démontrer la relation de Pascal. 1 - Vocabulaire des ensembles Définitions : L’intersection entre deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. On le note A ∩B. La réunion entre deux ensembles A et

propriété: T →0 T δ(t) = lim δ ( n) δ (n − k ) sont respectivement notés aussi : δ (n,0) et δ ( n, k ) et mais ces dernières notations sont déconseillées ε ∫ ε δ (t ) dt = 1 ∀ε≠0: Ce signal simule une brève perturbation (parasite, ...) n=− k δ(t) (et aussi une « claque » pour un système) δ(n ) 1 1 t n 0 (1 représente l'aire (le poids) de δ(t) et non pas l'ordonnée) -2 -1 0 1 2 3 4 δ(n-k) δ(t-t 0 ) 1 1 0 (ex : t0 > 0) ∀ε≠0:

devient donc (1 + i )n−2 A2 . . . . La k − 1e somme placée, A k , produit des intérêts pendant n − k périodes. Elle devient donc (1 + i )n−k A k . . . . L’avant dernière somme placée, A n−1 , produit des intérêts pendant 1 période. Elle devient donc (1 + i )A n−1 . La dernière somme placée, A n , ne produit pas d’intérêt et demeure A n . P Q 0 1 2 A0 A1 A2 k−1 k Ak−1 Ak n−1 n An−1 An Valeurs acquises An (1 + i)An−1 (1 + i)n−k Ak (1 + i)n−k+1 Ak−1 (1 + i)n−2 A2 (1 + i)n−1 A1 (1

reste. kn k f x  k0 x f k 0  x n n x avec lim 0 n  0 k! 1/ le groupe exponentielle kn k e x  k0 x  x n n x k! 2k kn kn x 2k1 chx  k0 x !  x 2n1 n x et shx  k0 2k1 !  x 2n2 n x 2k cosx  kn k0 1 k x 2k 2k !  x 2n1 n x et sinx  kn k0 1 k x 2k1 2k1 !  x 2n2 n x Premiers termes des développements de tan et th en 0 2 tanx  x  x3  15 x 5  x 6 x et thx  x 2/ le groupe 1/1-Id 1 Id 1 1 x 3 x3 3  2 15 x5  x6 x kn 1 1

(b0−ba ) . hd2 +ba .h p2 ] ² [ (b0−ba ) hd+ba.hp ] Ip=0,3765-0,1769=0,19957 m4 ρp = Ip b1 E= 0,19957 3,32 .E = 0.06011 E avec b1= 2b n = 16.6 5 = 3.32  Moments d’inertie de torsion kp Г1= 1 2 x 1 3 x b0 x hd3 = 6,03 10−3m4 Г2=k( 2(hp−hd) ba )(hp-hd) ba3 =k(5.9)*0,075 Page 6Dimensionnement d’un pont =0,2956*0,075 =0,02217 m4 Kp= Г1+ Г2=6,03 .10−3 + 0,02217 = 0,0282 m4 Ȣp= kp 2b1 .E= 0,0282 2∗3,32 .E = 4,24 .10−3 .E ȢE=ρE= hd3 12 E = 8,873. 10−4 E Donc : Ȣp= 4,24. 10−3 .E

3 uuur 3 uur IM ' = - IM 4 Définition : Etant donnés un point I et un réel non nul k. On appelle homothétie de centre I et de rapport k, toute application h : P ® P, M a M ' telle que : uuur uuu r IM ' = k I M . uuur uuu r On note h( I ,k ) ( M ) = M ' équivaut à IM ' = k I M . Cas particuliers : uuur uuu r · Si k = 1 alors h( I ,1) ( M ) = M ' équivaut à IM ' = I M équivaut à M ' = M . · uuur uuu r Si k = - 1 alors h( I , -1) ( M ) = M ' équivaut à IM ' = - I M équivaut à I = M * M ' équivaut

alignées sur une table de façon aléatoire. Le joueur retourne les cartes une par une jusqu’à obtenir un roi rouge. On définit les événements : Rk : « la k-ième carte retournée est un roi rouge ». Ek : « le premier roi rouge obtenu est la k-ième carte retournée ». 1) Calculer P ( E1 ) , puis en fonction de n et de k la probabilité de Ek si k ≥ 2 . Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013 Probabilités -2- 2) Il donne 1 euro chaque fois qu’il retourne une

point pour aller à un autre. Ces deux états ne changent pas, seul le chemin pour y arriver diffère. A k 1 =10 s → B  −4 −1 −6 −1 G. B k 2 =10 s → A  A l'équilibre on a v A = v B = k 1 [A] = k 2 [B] k 1 [ B] 10 −4 = = K = −6 = 100 k 2 [A ] 10 Donc à l'équilibre on a [B] = 100[A] Si l'on utilise une enzyme pour la même réaction, il n'y aura aucun changement à l'équilibre. vB = − dA = k 1 [A ] dt La réaction va passer par un état intermédiaire. La réaction aura donc besoin d'une énergie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Notion de dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynˆmes. o 2.1 Degr´ d’un polynˆme. . . e o 2.2 Arithm´tique dans K[X]. e 2.3 Racines d’un polynˆme. o 2.4 D´rivation dans K[X]. . . e 2.5 Polynˆmes scind´s. . . . o e 3 3 3 5 6 6 6 7 8 9 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de capital par tête d’équilibre k* Pas d’effet car k* est atteint à long terme Augmentation E) Salaire et taux d’intérêt réels Ils n’apparaissent pas explicitement, mais sont nécessaires implicitement au fonctionnement de l’économie. Leur étude va cependant être facile car on les a déjà fait apparaître. u Pour le capital, c’est comme si on payait le taux d’intérêt réel et la dépréciation, d’où : = r + δ. p w* À long terme, k = k* ; donc on a :  = ƒ(k*) − k*·ƒ’(k*). p Le salaire réel d’équilibre