Le K

Mines-Ponts 2001 Math I Pr´ eliminaires a. x ∈ ker f k ⇒ f k (x) = 0 ⇒ f k+1 (x) = f(f k (x)) = 0 ⇒ x ∈ ker f k+1 Donc ker f k ⊂ ker f k+1 pour tout naturel k. b. Notons HR(k) la propri´et´e : ker f k = ker f k+1 . HR(p) est vraie par hypoth`ese. Si HR(k) alors on dispose des ´equivalences : x ∈ ker f k+2 ⇔ f(x) ∈ kerf k+1 ⇔ f(x) ∈ kerf k ⇔ x ∈ kerf k+1 qui entrainent HR(k + 1). Ainsi par r´ecurrence, ker f k = ker f k+1 pour tout k ≥ p. dk = dim ker f k est une suite croissante major´ee (par n) d’entiers

Cpk M k .N p−k . Alors : ∀p ∈ N on a : (M + N ) = k=0 Preuve. Nous allons d´ d’un raisonnement par r´ecurrence sur p. emontrer ce r´esultat `a l’aide 0 (M + N ) = In  0 . Initilalisation : on a :  C0k M k .N 0−k = C00 M 0 .N 0 = 1.In .In = In k=0 0 0 On a donc bien : (M + N ) = C0k M k .N 0−k , la propri´et´e est donc bien vraie au rang 0. k=0 p p Cpk M k .N p−k pour p fix´e quelconque. H´er´edit´e : on suppose que : (M + N ) = k=0 On va montrer que : (M + N ) p+1 p+1 k Cp+1 M

facteurs est variable, il dépend du degré de divisibilité et d'adaptabilité de chacun d'eux Quels sont les facteurs de production sur lesquels on se base ? Le travail, l’ensemble des ressources humaines  L Le capital, terrains, bâtiments, équipement  K Allocation optimale de ressource Pour un niveau donné de production, la dépense doit être minimale et pour une dépense donnée la production doit être maximale.  Maximisation du profit. FONCTION DE PRODUCTION : Pour un état donné de la technique

géométrique et (y n ) une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison. n d. En déduire l’expression de S n = u k en fonction de n. k=0 Exercice 3. commun à tous les élèves (5 points) Soit n ∈ N∗ . On considère le nombre u n défini par : un = n 1 1 1 1 + +... + = . 1×2×3 2×3×4 n × (n + 1) × (n + 2) k=1 k(k + 1)(k + 2) Le but de l’exercice est de démontrer de deux manières distinctes que l’on a : (E) : u n = n(n + 3) . 4(n + 1)(n + 2) Première méthode Utiliser

d'une intégration par parties, montrer que pour tout n ≥ 2, on a : In = 3°) Après avoir calculé I0 et I1, en déduire I2p et I2p+1, p ∈ N. I 2 p + 2 I 2 p +1 4°) Montrer que pour tout p ∈ N, on a : ≤ ≤ 1. I 2p I 2p 2 n −1 In−2. n  2.4.6.K.2p  1  . 5°) En déduire la limite quand p tend vers +∞ de  (formule de Wallis).  1.3.5K.(2p − 1)  2p + 1 2 11. On note, pour tout nombre réel a positif et pour tout entier naturel n : un(a) = 1 ∫ exp( a (1 − x ) ) x 0 n

         E   '    . Soit u ∈L (E). 1. Montrer que l'application g dé nie pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En par g (x1, x2, · · · , xn ) = n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) est une forme n-linéaire alternée de E 2. En déduire que pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) = Tr(u)detB (x1, x2, · · · , xn ) I.4 Déterminant d'une matrice

^ > ^ s W : Z D Z / D Ed^ : > : D D , : /E^ ^KDD /Z /EdZK h d/KE / W D D h W > > > // > > > EW W Z/ ^ W > > > > > > > /// > K > > / > > KE >h^/KE /EdZK h d/KE W > & > d & : K Z ' : EW W Z/ ^ K ^ D ^ ^ > ^ > : y/y ' ' / > > > > > > ^ > EW W Z/ WZ/DZK^ KZ hy ^ > , & d t ^ > ^ d > d W / W > Z : D W > Z /

WJ \ 1 2A _ 2 =1 = c c # 1 2 ! WK 2T e K 2 b [K 2 ! K i 1 2 n lm 1 p 1! W# 2H m 1 2x w # Y W / ~ 2 T FM 1 } •5 4 1 2 … 51 G w 2 ‡ ! † 1 2 q • 3. W# ~] 4 W# 1 d [1 ~ Sf Ke • G ~ 2 .t4/ g 2 . ? ~ • 1F ; C† ‘ 2 T #= “ ? ~ “ W4 m 1 1 •D C •D C &'$ 2 . 01 3 :. ;1 # < 2@? H /. F# F G 1 1 B ; < R W K ] W" 1 X! ` J 2 /- K B D c d /! g1 f J 2 b [K 1 " 3 0/ 2 !F l# q1 " O# #1 . t# ! k zy# 51 ! •# :1 ! ‚ W# ST k w K 2 ˆ! ‰ F G z 1 :.; < # 1 B1 • 4# 2 r1 W K ! N! 5M K 1 2 ! 10. kK 2 • eTK ~2 1 = 1 B A@ ; 2

structurel suivant : K=1 ; T=0,1s. a) Effectuer la saisie du schéma. b) Appliquer un échelon d’ordre 0 tel que e(t)=0 pour t0. c) Comparer la valeur de x(t) en régime permanent à la quantité E/(1+K). d) Refaire une simulation avec K=5, K=10 et K=20. e) Conclure sur la précision statique et la stabilité du système. 2) Système du premier ordre possédant une intégration. On considère le diagramme structurel suivant : K=1. T=0,1s. a) Effectuer la saisie

Somme arithmétique. k=1 n k= n(n + 1) 2 1 − q n+1 (si q = 1). 1−q Somme géométrique. k=1 qk = qk = Si |q| < 1 alors : ∞ k=1 1 . 1−q n Somme des coefficients binomiaux. k=0 n = 2n k n Somme alternée des coeff. binomiaux. (−1)k k=0 n = 0 (où n ∈ N∗ ). k Somme des inverses des nombres premiers. Somme des inverses. 1 = +∞. k=1 k ∞ ∞ 1 = +∞. p∈P p (−1)k+1 = ln(2). k k=1 ∞ 1 π2 Somme des inverses des carrés. = . 2 6 k=1 k ∞ π4 1 = . Somme des inverses des bicarrés. 4 90 k=1 k Somme alternée des