LIM

coordonnées sont (u1 ; u1). B a la même abscisse que B”, donc B a pour coordonnées (u1 ; 0), etc. c) On trouve u4 très proche de 2. 1 Chapitre 1 ● Suites 2 1 © Nathan 2012 – Transmath Term. ES-L CHAPITRE 1 d) Il semble que lim (un) = 2. 2. a) La calculatrice répète toujours la même séquence de calcul à partir du dernier résultat obtenu. On obtient donc les termes successifs de la suite. b) On obtient : u0 = 5 ; u1 = 3,5 et u2 = 2,75. c) On obtient ensuite successivement

: • lim ln x = +∞ x→+∞ ln x =0 ; x→+∞ xn n (on dit que x est plus fort que ln x en +∞) • Pour tout entier n > 0, lim xn = +∞ x→+∞ ln x lim • lim ex = +∞ x→+∞ ex xn = +∞ ; lim x = 0 x→+∞ xn x→+∞ e (on dit que ex est plus fort que xn en +∞ : on en déduit que ex est aussi plus fort que ln x en +∞) • Pour tout entier n > 0, lim Méthode générale en cas de FI en +∞ : Mettre le plus fort en facteur en haut et en bas. Exemples : ln x ln x • lim ln x − x = lim x −

donne a=1, b=4 et c=16. f ( x) = 16 16 et lim = 0 alors lim f ( x) = −∞ et lim f ( x) = +∞ x →−∞ x →+∞ x − 1 x →±∞ x − 1 Donc il n’y a pas d’asymptote horizontale. 2. Comme f ( x) = x + 4 + 3. lim f ( x) = −∞ car − x →1 (x2+3x+12) tend vers 16 et (x-1) tend vers 0- et de même lim f ( x) = +∞ ceci permettant de conclure que la droite d’équation x=1 est une + x →1 asymptote verticale. 16 et donc lim f ( x) − ( x + 4) = 0 ce qui prouve que la droite

– M ÉTHODE Comment fait-on déjà ? Équivalent d’un logarithme. • Lorsque lim f (x) = 0, on a Analyse 1 – Croissances comparées ln 1 + f (x) x→a V ERSION FONCTIONS x→a E XEMPLES : • ln(1 + ex ) Rappelons ce fameux théorème dit « des croissances comparées » : T HÉORÈME 1 (Croissances comparées) • ln(1 + x 3 ) ln x lim =0 x→+∞ x • ex = +∞ x→+∞ x α lim lim x α . ln x = 0 lim |x|α . ex = 0 • (1 + x) P ROPOSITION 1 • Au voisinage de 0 : ln x

2011 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire Asie EXERCICE 1 1) Etude d’une fonction f. 1 1 a) Limite de f en 0. lim = +∞ et lim ln x = −∞. Donc lim f(x) = lim × ln x = −∞. x→ 0 x x→ 0 x→ 0 x x→ 0 x>0 x>0 x>0 x>0 Limite de f en +∞. D’après un théorème de croissances comparées, lim f(x) = lim x→ +∞ x→ +∞ ln x = 0. x x→ 0 x>0 lim f(x) = −∞ et lim f(x) = 0. x→ +∞ b) f est dérivable sur ]0, +∞[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ]0, +∞[ dont le dénominateur

un réel . • D’après la définition, lim (v n − un ) = 0 ; or, lim (v n − un ) = − . n→+∞ n→+∞ J. P Goualard . 2. Par unicité de la limite, on a : − = 0 donc = . Conclusion : les deux suites convergent, vers le même réel. 1 n a. 10−n = est une suite géométrique de raison comprise strictement entre −1 et 1 et donc lim 10−n = 0 n→+∞ 10 Ainsi lim un = lim v n = 1. n→+∞ n→+∞ Pour tout n ∈ N, v n+1 − v n = 1 + croissante. . De plus : lim (v n − un ) = lim n→+∞ 1 1 1 1 − 1 + n = n+1 − n

environ 69 , 28 cm2 . Corrigé des exercices d’apprentissage du chapitre 3 Exercice 7 ( )  1 1 lim 3n 2 − n = lim 3n 2  1− ×  = +  ∞ n →+∞ n →+∞  3 n 2 donc, par somme, lim  n = +  ∞ ▶ On a: car 1 lim   = 0 n →+∞ n et n →+∞ lim an = +∞ . n →+∞ ▶ On a ( ) : lim (1− 3n ) = −∞ et lim n 2 + n − 2 = +∞ (par somme car lim n 2 = +∞ n →+∞ ) n →+∞ et lim (n − 2 = +∞ ) ainsi, par produit, lim bn = −∞ . n →+∞ n →+∞ n →+∞ Corrigé séquence 1 – MA02 13 n 2( 1 1 −3 2 2 1− 3n 1− 3n n

a ∈ R. • Si lim f = α ∈ R et lim g = β ∈ R alors lim(f + g) = α + β. a a a • Si lim f = α ∈ R et lim g = +∞ alors lim(f + g) = +∞. a a a • Si lim f = α ∈ R et lim g = −∞ alors lim(f + g) = −∞. a a a • Si lim f = +∞ et lim g = +∞ alors lim(f + g) = +∞. a a a • Si lim f = −∞ et lim g = −∞ alors lim(f + g) = −∞. a a a 23 Limite d’un produit : Soient f et g définies au voisinage de a ∈ R. • Si lim f = α ∈ R et lim g = β ∈ R alors lim(un .vn ) = α.β. a a • Si lim f = α ∈ R+∗

déplacements x et x’ telle que ∆ t = (t’- t) et ∆ x = (x’- x). La vitesse: Le rapport de ces deux expressions définit alors la vitesse moyenne vmoy = [(x’-x)/(t’-t)]= ∆ x/∆ t. La vitesse instantanée est un passage à la limite telle que : vinst = lim ∆ → v = lim ∆ → ∆ ∆ . Cette dernière limite n’est autre que la dérivée de x par rapport à t donc v = connaissant V(t)= f(t) on peut déterminer la position dx = v(t) dt et 𝑑𝑥 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑥0

2 heures Première Exercice I. a) lim d) lim Exercice II. x→ +∞ S Contrôle de Mathématiques Calculs de limites suivantes ( x − 1) 2 1−2x 2 b) lim x −1 x +3 −2 x→1 1 c) lim 3 − x sin   x→0 +  x f) lim x 2 + 2x − 3 2 x 2 + 3x − 9 x → −3 x → 1+ 1 1 − 2 x −1 x −1 1 2   (x − 2 ) e) lim  − x → + ∞ x x   ax ² + bx + c et (C) sa courbe représentative dans x−2 un plan muni d’un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés