LIM

< 1, la suite géométrique (un)n≥0 est décroissante. Cela signifie que la population diminue d’année en année : u0 ≥ u1 ≥ u2 ≥ . . . ≥ un ≥ un+1 pour tout n ∈ N • Puisque 0 < q < 1 et u0 = 100 > 0, la suite géométrique (un)n≥0 tend vers 0 : lim n→+∞ un = 0. 2324 CHAPITRE 3. SUITES Ainsi, plus nous nous éloignons de l’année 2018, plus la quantité d’hérissons diminue pour se rapprocher de 0. Nous allons revoir ce genre de notions dans ce chapitre afin de modéliser et étudier différentes situations

LIM, prononcé « L.I.M », de son vrai nom salim Lakhdari, né en Juillet 1981 à Boulogne-Billancourt, est un rappeur français et producteur. D'origine algerien de Tizi Ouzou, LIM est né en juillet 1981 à Boulogne-Billancourt dans les Hauts-de-Seine[1]. LIM commence le rap en 1990, à l'âge de 9 ans, avec le groupe Mo'vez Lang, aux côtés de Boulox (Djibi Diop) et Cens Nino (Houcene Marega) Avec qui y formera une Dizaine d'année plus tard le Label TOUS ILLICITES. En 1994, il participait à la tournée

e x " x = ln y ! ! LIMITES USUELLES DE FONCTIONS lim ln x = +# lim e x = +# lim e x = 0 x "+# x "+# x "#$ ex = +# x "+# x lim lim x n e$x = 0 x "$# lim xe x = 0 ln x =0 x "+# x lim ! ex lim = +# x "+# x n ! x "+# lim ln x =0 xn ! x "$# lim x n e x = 0 ! x "+# lim ln x = #$ lim x ln x = 0 x "0 x "0 ! sin x lim =1 x "0 x 1# cos x lim =0 x "0 x ln(1+ x) e x #1 lim = 1 lim =1 x "0 x "0 x x ! 2/5 www.mathforu.com DERIVEES

plus en plus proche d'un réel L. On écrit alors : x→x0 lim f ( x ) = L ou encore lim f = L . x0 Cette limite L, si elle existe, est unique. Exemple : Pour f (x) = 2x + 1 en x0 =1 , on a lim f ( x ) = 2x 0 + 1 . x →x 0 Pour démontrer que f admet une limite L au point x 0 , on utilise souvent une fonction associée g définie par g(x) = f(x) – L. Il suffit alors de démontrer que lim g ( x ) = 0 , ce qui équivaut à x→x0 lim [f ( x ) − L] = 0 x →x 0 On connaît en effet certaines

certaine limite quand le rang n devient de plus en plus grand.” Plus encore, nous précisons nous même la marge ou encore l’erreur. Ainsi; une suite (Uk )k de nombres réels, sera dite convergente et admet une limite l ∈ R quand n tend vers ∞, on écrit lim Uk = l ∈ R k ou encore Uk −→ l quand k −→ ∞, pour affirmer que toute erreur donnée il existe un rang à partir duquel les termes de la suite (Uk )k se condensent autour de la limite l avec un écart, au grand maximum, de l’ordre de l’erreur fixée au

courbe de la dérivée de f. Donc,on doit déduire le signe de f’(x). Exercice 2 1) a)  1 lim f ( x)  lim ( x ²  1  2 ln x)  . car lim ln x  . x0  4 x 0  x 0  Donc la droite d’équation x=0 est une asymptote à (C).  1 ln x ln x lim f ( x)  lim x( x  2 )  1  . car lim  0. x   x   x   x 4 x f ( x) 1 ln x 1  lim ( x  2 )   . x   4 x x x x   lim Donc (C) admet une branche parabolique de direction (Oy) au voisinage de  . b) Pour tout

)n∈» : (1 (U n ) . un +1 = q ⋅ un c‫و‬b‫و‬a Un (b (c . ac = b 2 . (U n ) . un +1 − un : (a (U n ) . (b u n +1 − u n = cte ( U n 〈Vn ) U n ≤ Vn (V n ) (U n ) . . U n +1 = f (U n ) (V n ) (U n ) . lim U n ≤ lim Vn (a u0 q (b (c ( un ) n . ( ∀n ∈ » ) : un = u0 ⋅ q : (2 : un = u1 ⋅ q n− p u1 un‫و‬u p (5 I : q p‫و‬n (1 (2 ) U 0 ∈ I  U n +1 = f (U n ) f f (I ) ⊂ I un = u p ⋅ q n − p .( . l (U n )

2 sin( n ) 2 Exercice 3  u1 = 1  soit (u n ) n ≥1 la suite définie par  n +un u n +1 = n 2  1.montrer que (∀n ≥ 1) : u n ≤ 2 . en déduire que (u n ) est convergente et calculer sa limite l . 1 n +1 2.montrer que (∀n ≥ 2) : ≤ un ≤ . En déduire lim(nu n ) (n − 1) 2 n −1 k =1 u n = ∏ cos( α 3.on veut étudier la monotonie de la suite (u n ) . a) montrer que la suite (v n ) n ≥ 2 définie par v n = b) montrer que pour tout n ≥ 2 , on a u n ≥ v n . c) en déduire que la suite (u n ) n ≥ 2

+ h[ pour une limite en x0 etc… Limites par comparaison Si pour tout x ∈ I f(x) ³ g(x) et si lim g(x) = +∞ alors lim f(x) = +∞. Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0 alors lim f(x) = l. Comparaison de limites Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'. Théorème des gendarmes Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie. pas de résultat général 1/3

 Mathématique : Théorie. Algèbre. Chapitre 7 : Calcule de limite. Une fonction réelle f est continue en x=a si lim f(x) = f(x). Une fonction réelle f est discontinue en x=a si elle n'est pas continue en x=a Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels elle est continue. On le note dom f . Chapitre 8 : Les asymptotes. Une asymptote à une branche infinie de courbe est une droite telle que la distance d'un