LIM

La pente de la droite tangente Tx0 à f au point x0; f (x0 )( ) est égale à lim x→x0 f (x)− f (x0 ) x − x0 Ce quotient mesure le taux de variation instantané de f en x0 . Définition (Dérivée d'une fonction en un point) Soit f une fonction définie au voisinage de x0 . i) f est dérivable en x0 ⇔ lim x→x0 f (x)− f (x0 ) x − x0 existe et ∈ ! . ii) Si cette limite existe, on note f ' x0( ) = lim x→x0 f (x)− f (x0 ) x − x0 f ' x0( ) est appelé la dérivée de f en x0 .

en +∞. 2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +∞. Indication Exercice 2 √ √ 1+x− 1−x = 1. 1. Démontrer que lim x x→0 Correction Vidéo [000612] √ √ 1 + xm − 1 − xm . xn x→0 1 1 3. Démontrer que lim ( 1 + x + x2 − 1) = . 2 x→0 x Indication Correction Vidéo 2. Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim [000609] 2 Calculs Exercice 3 Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes a) limx→0 d) limx→π g) limx→0 x2 +2 |x| x sin2 x 1+cos

définition , le coefficient directeur de T’ est lim donc lim = 1 et x →1 x →1 x −1 x −1 puisque 1 est fini , la fonction ln x est dérivable en 1 et son nombre dérivé en 1 est égal à 1 . Montrons la dérivabilité en a réel strictement positif ln x − ln a On cherche lim x →a x−a  x  x ln   ln   ln x − ln a a = 1 a Or = x−a x  ax  a − 1  − 1 a  a  ln x − ln 1 ln x On vient de montrer que lim = 1 , or ln 1 = 0 donc lim =1 x →1 x → 1 x −1 x −1  x ln

Intuitivement, dire que la fonction f a pour limite au point a signifie que lorsque x devient de plus en plus proche de a, f (x) devient de plus en plus proche de . On peut mˆme ´crire que : e e − ξ ≤ f (x) ≤ + ξ, aussi petit que soit ξ ∈ R+ Et on note : lim f (x) = x→a 1 2 2.1 La th´orie e La limite d’un polynˆme o Le polynˆme f : x → an xn + ... + a1 x + a0 , avec an ∈ R , et le monˆme o o g : x → an xn ont la mˆme limite quand x tend vers +∞, et ont la mˆme e e limite quand x tend vers

Etude de la fonction f(x) = ex : 1- ex est strictement croissante. 2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ 3- lim ex = + ∞ . +∞ lim 0 en −1 = 1. h x lim e = 0. −∞ Exercice: 1- Simplifier les expressions suivantes: a- ex . e-2x b- (e2x)2 . (e-3x)4. c- (ex + e-x)2 – (ex – e-x)2. 2- Soit la fonction : ex −1 . ex +1 et lim f(x). f(x) = a- Calculer lim f(x) −∞ +∞ e −1 ). 3x © www.e-tahero.net – Z.M.F x 3- Calculer lim ( 0 Solution: 1- a- ex.e-2x = e-x. b- (e2x)2 . (e-3x)4 = e4x . e-12x = e-8x. c- (ex + e-x)

résultat suivant : lim x  ex= Démonstration Soit f la fonction définie par f(x) = ex - x. Nous allons montrer que pour tout x, f (x) > 0. La dériviée est f '(x) = ex . 1; elle s'annule pour x = 0, est négative pour x0. On a donc pour f le tableau de variations suivant : KB 3 sur 7 Ceci nous montre que pour tout x, f (x) 1 et donc que pour tout x, f(x) > 0. Comme f(x) = ex - x, on en déduit que pour tout x, ex > x. Enfin, comme lim x  x= , on a bien lim x  ex= . b)

des longs calculs". En prenant 1 a = , on obtient : x 1 ln( ) = – ln(x) x Etant strictement croissante, ou bien lim ln(x) = +∞ ou bien lim ln(x) = l limite finie. x → +∞ x → +∞ Comme, pour n entier, ln(2n) = nln(2) (récurrence facile) et que cette quantité tend vers +∞ quand n tend vers +∞, la seule conclusion possible est : lim ln(x) = +∞ x → +∞ -1- Et donc, en considérant 1 : x lim ln(x) = –∞ x→0 ln réalise donc une bijection de ]0, +∞[ sur ]–∞, +∞[. Sa réciproque est l'exponentielle : t

Quand x tend vers 5 avec x < 5 on a lim (x – 5) = 0 – . Donc d’après le théorème des limites sur les quotients lim f(x) = + [pic] (0,75) 2) g : x [pic] quand x tend vers 3. On ne peut pas déterminer la limite directement car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 quand x tend vers 3 ( forme indéterminée du type « [pic] » ) Le trinôme x2 – 5x + 6 admet 3 comme racine , il se factorise : ( x – 3 )( x – 2 ) Quand x tend vers 3, lim g(x) = lim[pic]= lim[pic]= 0,5 (1,25 pt) Exercice 3

x→+∞ lim 1+ 1 x 1 x (1 + x) x − e 2. lim x→0 x 1 x 1 x x2 3. x→+∞ lim cos 4. x→+∞ lim x3 sin − x2 5. lim ex − cos(x) − x x→0 x − ln(1 + x) ex − e−x ln(1 + x) ln 1 + sin(x) − sin ln(1 + x) x2 sin(x2 ) 6. lim x→0 7. lim x→0 Exercice 4 Dans tout l’exercice, (un ) est une suite réelle et a ∈ R. 1. Montrer que si n→+∞ lim un = a alors n→+∞ lim u1 + u2 + · · · + un =a n 2. Montrer que si n→+∞ lim (un − un−1 ) = a lim un n

produire : – soit la suite (Sn )n∈N est majorée et en conséquence elle converge ; – soit cette suite n’est pas majorée et lim Sn = +∞, ce qui peut se noter n→+∞ +∞ un = +∞. n=0 On a donc le résultat suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. En cas de divergence, on a lim Sn = +∞. n→+∞ Dans le cas des séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge