LIM

= Í 5 Î 2 2 5 ˚ On peut conjecturer que lim n Æ+» © Nathan. Hyperbole Term S u1  1. 1 1˘ È 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ Ê 1 - 5 ˆ ˙ 5 -Á = ¥ 5 = 1. Á ˜ ˜ 5 ÍÎË 2 ¯ Ë 2 ¯ ˙˚ 5 b) Pour tout nombre entier naturel non nul : n +1 n +1 Ê1 + 5 ˆ Ê1 - 5 ˆ -Á Ë 2 ˜¯ un +1 ÁË 2 ˜¯ = n n un Ê1 + 5 ˆ Ê 1+ + 5ˆ ÁË ˜ - ÁË ˜ 2 ¯ 2 ¯ = 1+ 5 ¥ 2 Ê1 - 5 ˆ 1- Á ˜ Ë1 + 5 ¯ n +1 Ê1 - 5 ˆ 1- Á ˜ Ë1 + 5 ¯ n n Ê1 - 5 ˆ 1- 5 Or 0 < < 1 donc lim Á ˜ = 0, d’où : n Æ+» Ë 1 + 5 ¯ 1+ 5 lim n Æ+» un +1 1 + 5 = . un 2 P(0) et P(1)

16 16 16 3 3 27 64 – 27 37 37 =4¥ 1– =4¥ =4¥ = . 4¥ 1– 4 64 64 64 16 3 9 3 3 Donc, 1 + + =4¥ 1– . 4 16 4 ΂ ΂ ΃΃ 2. sn = 2 C Activité. Somme des premières puissances d’un nombre ΃ ΂ ΂ ΃΃ 1 – 37 ¥ u0 = 2 186. 1–3 1. Une condition suffisante est lim un = + ∞. n Æ +∞ 2. On obtient n = 317. 5. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique ΂ 1. s6 = Exercices d’entraînement Le plus petit entier naturel n tel que 5n у 1010 est 15. 2. On remplace la ligne « Tant que 5n < 1010 » par « Tant

  ( ) 4) f : x → ln x 2 − 4 − ln(− x) ( ) Exercice n°13. Déterminer les limites suivantes : 1) lim x 2 + ln x 2) lim (1 − x ) ln x 3) lim ( ln 2 − 3ln x ) x →+∞ ( ) x →+∞ x →+∞ 4) lim ( x − 4 + ln x ) x →0 5) lim ln x 2 x →−∞ 6) lim x →0 ln x x 7) lim x − ln x x →+∞ 1  1 8) lim x ln  1 +  (Poser X = ) x →+∞ x x  9) lim x →0 ln(1 + 2 x) (Poser X = 2 x) x Exercice n°14. Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis

1 × 1011. b) S = 4 + 0,25 × 4 + … + 0,2520 × 4 S = 4 × (1 + 0,25 + … + 0,2520) 1– 0,25 21 S=4× 1– 0,25 S ≈ 5,33. 8    0,7  ]0 ; 1[ donc lim 0,7n = 0. n→+ ` 9    vn = –7 × 1,99 n, or 1,99  1 et –7  0, donc : lim vn = – . n→+ ` 10    wn = 2 × 0,5n + 1 = 2 × 0,5 × 0,5n et 0  0,5  1, donc  : lim wn = 0. n→+ ` 11    rn = 2 – 0,8n et 0  0,8  1, donc lim rn = 2. () () n→+ ` Ti-82Stats.fr Casio Graph 35+ À l’aide de la calculatrice, pour tout n  62, 0,8 n  10 – 6 ; pour tout n  104

mm2 est la figure F77, elle a pour périmètre : P77 ≈ 4, 54 × 1033 cm (arrondi à 1031 près). p3 = 56 + 8 × 8 × 4 × Chapitre 1 : Suites 7 e) D’après les résultats sur la limite d’une suite géométrique, le réel n  8 a : lim   = + ∞ . On en conclut que : lim pn = + ∞ . n→ + ∞ n → + ∞  3 Puisque la suite (pn) tend vers + ∞, quelque soit le nombre P choisi, il existe un rang au-delà duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à P. Donc il existe un rang au-delà duquel tous les termes

utilisez le théorème de la valeur finale: 28/10/03 Systèmes asservis page 1/5 Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot lim t →∞ s( t ) = lim p→ 0 [ p ⋅ S ( p)] Ici on peut donc écrire pour l’écart : ε s = ε ( ∞) = lim p→0 p ⋅ ε ( p) ⎡ ⎤ p α ⋅ D( p) ε s = lim p→O ⎢ p ⋅ α ⋅ E ( p) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ p ⋅ D( p) + K ⋅ N ( p) ⎦ [ ] On le voit l’erreur statique dépend de la nature de l’entrée mais aussi de la fonction de transfert en boucle

Asymptotes verticales : x = a lim f(x) = -∞ et lim f(x) = +∞ x→a- x→a+ Asymptotes horizontales : y = b lim f(x) = b et lim f(x) = b x→-∞ x→+∞ Asymptotes obliques : y = ax +b lim [f(x) – (ax+b)] = 0 et lim [f(x) – (ax+b)] = 0 x→+∞ x→-∞ Les fonctions : Equation de la tangente : y = f’(a) (x – a) + f(a) f est dérivable en a si lim f(x) – f(a)/ x – a = f’(a) ou si lim f(a+h) – f(a)/h = f’(a)

-, -, On a : u 1 = -- u 0 + 3 = ----- u 2 = -- u 1 + 3 = ----4 4 4 16 1 1 1021 253 u 3 = -- u 2 + 3 = --------- et u 4 = -- u 3 + 3 = ------------ . 4 4 256 64 Voir la représentation graphique en page 3. e) Si la suite ( u n ) est convergente alors lim u n = 4, où 4 est l’abscisse du point commun n→+∞ 1 b) On a u 3 = q 3 × u 0 ⇔ – 9 = q 3 × -- ⇔ q 3 = – 27 3 ⇔ q = – 3. 2) a) Soit S = 1 + q + q 2 + ... + q n−1 + q n , avec q réel différent de 0 et de 1. Alors q × S = q + q 2 + ... + q n−1 + q n

suffisamment grand. On note alors : lim f (x) = +∞ lim f = +∞ ou x→+∞ +∞ Remarques : 1. On dit aussi que f a comme limite +∞ en +∞. 2. Ceci peut se traduire par : pour tout réel A > 0, il existe un réel a > 0 tel que f (x) > A dès que x > a (voir figure 1) Fig. 1 – Limite +∞ lorsque x tend vers +∞ 3. On peut définir de manière analogue limx→+∞ f (x) = −∞ ; limx→−∞ f (x) = +∞ et limx→−∞ f (x) = −∞. Cas des fonctions usuelles : – Fonction racine carrée (figure 2) : lim x→+∞ √ x = +∞ – Fonction identité

(a + h ) − u (a ) − v (a)   u ( h + a) − u (a) v (a + h ) − v (a)  +  = =  h h h h       Or u et v sont dérivable en a. Donc on aura :  u (a + h ) − u (a )   v (a + h ) − v (a )  lim   = u ' (a ) et lim   = v' (a) h →0  h →0  h h    (u + v )(a + h ) − (u + v )(a)  Donc lim   = u ' (a ) + v' (a ) = (u '+ v' )(a ) h →0  h  Ceci étant vrai pour tout réel a de I, on en déduit que : (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x). II) Dérivée d’un produit. La fonction u × v est dérivable