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septembre 13 4éme SC.EXP SÉRIE D’ANALYSE N°1 PROF : BEN ALI ANIS EXERCICE N °1 : Pour chaque question, il y a exactement une proposition correcte. 1 pour x0 et −1 + lim f = +∞ 0− 0− 2 1 alors: ≤ f ( x ) ≤ −1 + x x lim f = 0 +∞ La droite D : y = -1 est une asymptote à cf en +∞. lim f = −1 0+ I 1) Si f ( x ) > − LIMITELIMITE-CONTINUITÉ AL 3) Dans le graphique ci-dessous on donne les courbes cf et cg de deux fonctions f et g. g AN IS BE

point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim t®0 sin(t) t = 1. Soit n Î . Étudier la limite suivante : lim t®0 sin( ) sin( ) nt t Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle On considère la fonction ¦ définie sur 

dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim t ®0 sin (t ) = 1. Soit n Î . t t ®0 Étudier la limite suivante : lim sin (nt ) sin(t ) Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle On considère la fonction ¦ définie

continue. On a alors : lim f ( x ) = f ( a ) x→a Limites de fonctions de référence (Rappels de 1ère) • Fonction affine : x ax + b o Si a > 0 , on a : lim ( ax + b ) = +∞ et lim ( ax + b ) = −∞ ; o Si a < 0 , on a : lim ( ax + b ) = −∞ et lim ( ax + b ) = +∞ . x →+∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ • Fonction carrée : x x2 o lim x 2 = lim x 2 = +∞ ; x →+∞ x →−∞ • Fonction cube : x x3 o lim x 3 = +∞ ; x →+∞ x →−∞ o • lim x 3 = −∞ . Fonction racine carrée : x o lim x = +∞ ; x →+∞ x

 o 0e10)0(fdonc[;0[0 0  )0(f)x(flim)x(flim 0x0x    donc f est continue en 0 b) Montrons que 1 0x )0(f)x(f lim 0x     et que 0 0x )0(f)x(f lim 0x     o x 0)1xln(2x lim 0x )0(f)x(f lim 0x0x       = 1.21 x )1xln( 21lim 0x     Ainsi 1 0x )0(f)x(f lim 0x     o 0x 0e1x lim 0x )0(f)x(f lim x 0x0x         = x 1e 1lim x 0x      = x 1 e 1 1lim x 0x   

limites suivantes, lorsque celles-ci existent : √ √ √ 1+x− 1−x x− x b) lim c) lim xx a) lim x→+∞ ln x + x x→0 x→0+ x 1−x 1/x d) lim ln x. ln(ln x) e) lim (1 + x) f) lim x→1+ x→0 x→1 arccos x Exercice 6 [ 01785 ] [correction] Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : b) lim c) lim ex−sin x e) lim x 1/x f) lim x 1/x x→+∞ x→+∞ x→0 Exercice 7 [ 01786 ] [correction] Déterminer les limites suivantes : a) lim x→0+ Exercice 2 [ 01780 ] [correction] Etudier la parité de la fonction

impliquant des suites numériques. Ce critère est donné dans le théorème suivant. Théorème 4.1. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si et seulement si pour chaque suite (xn )n∈N de points appartenant à Dom(f ) qui converge vers c nous avons lim f (xn ) = f (c) n→+∞ 4 FONCTIONS CONTINUES ET LIMITES DE FONCTIONS Preuve. Supposons d’abord que la fonction f est continue en c, c’est à dire que la propriété (1) tient. Supposons que xn ∈ Dom(f ) avec (xn )n∈N → c. Soit ε > 0 donné et choisissons

x→+∞ xn lim ex = +∞ x→+∞ xn lim On rappelle que pour tout entier n strictement positif, Calculer les limites suivantes : • lim 1−x x→2 (x − 2)2 x→+∞ • lim 3x2 − x + 3 • lim x2 − 4 x→2 x − 2 1 • lim x→−∞ (x − 2)3 • lim • lim 2x2 − 3x + 1 x→1 x−1 1 • lim x→2 (x − 2)3 x→0 x4 − 4x + 5 x4 − 4x + 5 • lim 2 x→−∞ x2 + x − 2 x→0 x + x − 2 √ √ x 1 − 1 − x2 √ • lim • lim x→0 x + 2 x x→0 x2 x+3 • lim ex + e−x • lim x x→+∞ x→+∞ e + 1 ln(x) ln(x) • lim 2 • lim x→0 x x→+∞ x2 ln(x) • lim x − ln(x)

: D −→ R et g : E −→ R, où D, E ⊂ R tels que f (D) ⊂ E. Soient 2 (a, ℓ, L) ∈ D × R , où ℓ = lim f (x) et L = lim g(x). Alors L = lim g ◦ f (x). » x→a x→a x→ℓ Dans toute la leçon, x0 désigne un élément de R. 0 La relation de prépondérance Définition 1 : Soient f, g deux fonctions ne s’annulant pas sur V (x0 ). On dit que f est négligeable devant g (au voisinage de x0 ) si f (x) lim = 0. x→x0 g(x) x0 On utilisera la notation de Landau : f = o(g) (ou f = o(g) s’il y a confusion)

an 09. p 48. Partie A – Restitution organisée de connaissances. ex Prérequis : on rappelle que x→+∞ lim = +∞. x ln x ln x 1. Démontrer que x→+∞ lim =0 2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : x→+∞ n = 0. lim x x Partie B – Etude d’une fonction f. ln x Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) = x – . x² → → On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique 2 cm). 1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[