LIM

: a1 = a3 = · · · = a2p+1 = 0. 1 Il suit que b 2p = a2p−1 = 0 quel que soit p. 3 1 1 1 p Calculons b 2p+1 = a2p = . 3 3 6 1 n 3. Pour (an ) : les termes de rang impair sont nuls, et on sait que lim = 0. n→+∞ 6 Donc lim an = 0. = n→+∞ Pour la même raison lim b n = 0. n→+∞ Or c n = 1 − an − b n . Donc lim c n = 1. Au bout d’un certain temps la puce n→+∞ sera pratiquement toujours dans la case C. E XERCICE 2 5 points Partie A x 2 + 16 y = . La représentation y = − x 2 + 16 graphique de H est donc

a, et on ´ecrit : lim f (x) = l x!a ou encore lim f = l. a Rem. Si f est une fonction constante et ´egale ` a c, d´efinie sur I, alors, pour tout x0 dans I, on v´erifie : lim f (x) = c. x!x0 Universit´ e de Toulouse 1 Ann´ ee 2011-2012 Math´ ematiques (Rappels) Licence Eco. Gestion et Droit, L1 Note de cours no 9 (M. Latourelle, C. Lobert et A. Sourisse) Exo 17. Etudier les limites suivantes ` a l’aide des quantificateurs : Illustrations : 1. lim 2x + 5 x!3 2. lim f (x) o` u f est d´efinie

1, est bornée car 1 ≤ un ≤ 2 pour tout n ∈ N. Définition 1.1. Soit (un )n∈N une suite numérique réelle. On dit que un converge vers l ∈ R lorsque n tend vers +∞ si et seulement si ∀ε > 0, et on note ∃ N = N (ε) ∈ N tel que |un − l| < ε ∀n ≥ N lim un = l. n→+∞ Exemples. Les suites de terme général un = tend vers +∞. 1 n et un = (−1)n n12 convergent vers 0 lorsque n Théorème 1.2. Soit (un )n∈N une suite numérique réelle. S’il existe l ∈ R tel que (un )n∈N converge vers l, alors l est unique

x 1 3 √ ≤ f (x) ≤ √ 1. Démontrer que, si x > 0 alors − 1+ x 1+ x Exercice 9. Soit f (x) = 2. En déduire que f admet une limite en +∞ dont on précisera la valeur. Exercice 11. Soit f une fonction décroissante sur ]0; +∞[ telle que : lim f (x) = 0. x→+∞ Démontrer que, pour tout x ∈ R+ on a f (x) ≥ 0. Exercice 19. Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en donner un encadrement d’amplitude 10−2 . 2. x2 = sin x Exercice 21.

de C n segments de longueurs u n . 1 4 n−1 . On obtient donc P n = C n ×u n = 3×4n−1 × n−1 = 3× 3 3 Ce qui est bien la formule demandée. 4) On nous demande de déterminer, si elle existe, lim P n . n→+∞ Or (P n ) est une suite géométrique de raison supérieure à 1 et de premier terme positif par conséquent lim P n = +∞ . n→+∞ 3. Etude de l’aire 1) Pour calculer A 1 il nous faut déterminer la hauteur h dans le triange équilatéral de côté 1. Cette hauteur est aussi médiatrice dans ce triangle

vers +∞, alors ln x Démontrer que lim x =0 . x ∞ et tend vers + ∞. t a. Question de cours : on sait que lim et = +∞. Montrons que t →∞ t x →∞ x →∞ lim ln x =0 . x Posons t = lnx (donc x=e t ). On sait que lim t =∞ . ln x t 1 Donc lim ln x = lim 1 =0 car de la forme 1 . = t= t t ∞ x →∞ x t →∞ e x e e t t b. Déterminer les limites de h en 0 et + ∞. b. Limite en zéro. Ce n'est pas une forme indéterminée : comme lim ln x =−∞ ,alors lim h x=∞ . x→0 x→0 Limite en

! ! LIMITES USUELLES DE FONCTIONS lim ln x = +# x "+# ex lim = +# x "+# x n ! lim e x = +# x "+# lim x "+# ln x =0 xn ! lim ln x = #$ lim x ln x = 0 x "0 x "0 ex = +# x "+# x lim e x = 0 lim x "#$ lim x n e x = 0 ! x "$# sin x lim =1 x "0 x lim xe x = 0 x "$# ln x =0 x "+# x lim lim x n e$x = 0 x "+# 1# cos x lim =0 x "0 x 2/5 ln(1+ x) e x #1 lim = 1 lim =1 x "0 x "0 x x www.mathforu.com

du plan tels que : 2 MA 2 − MB2 − MC2 = a 2 . Montrer que H ∈ ( ∆ ). c- En déduire et construire l’ensemble ( Δ ). EXERCICE 2 (7 points) Considérons la fonction f définie par f ( x ) = x + 1 − x et ( C ) sa représentation graphique. 1) Calculer lim f ( x ) . x→+∞ 2) a) f est-elle dérivable en −1 ? b) ( C ) admet –elle une tangente au point d’abscisse −1 ? Si oui, laquelle ? 3) On suppose que f est dérivable sur ]−1 ; +∞[ . a- Montrer que f '( x ) = 1 − 2 x +1 . 2 x +1 b- En déduire le tableau

bornes de son ensemble de définition. Préciser si Cf admet des asymptotes. Si oui, donner leur équation. Limite en ‒ ∞ : lim x ‒∞ ex = 0 donc lim x ‒∞ (ex ‒ 1 ) = ‒ 1 donc, par limite d’un quotient lim x ‒∞ ex = 0 donc par somme lim x ‒∞ ex ‒ 1 ex ‒ x= 0 lim x ‒∞ f(x) =0 lim x ‒∞ ( – x) = +∞ lim x ‒∞ ( ex – x) = +∞ La courbe Cf admet donc une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de ‒ ∞ Limite

xg( x) 2 2. Etude du signe de g(x) pour x réel a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers −∞ . x − > +∞ lim ( x + 2) = +∞ ; x − > +∞ x − > +∞ lim e x = +∞ donc lim g(x) = +∞ 2 1 xe x + xe x − 1 : e e g(x) = 2xe x −1 + x²e x −1 − 1 = 2 x 1 xe = 0 ; lim xe x = 0 x − > −∞ e x − > −∞ e donc lim g(x) = −1 lim x − > −∞ b. Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x. g(x)=(x+2)e x-1 – 1. La fonction g est dérivable sur R et