LIM

+∞ +∞ +∞ –∞ –∞ –∞ +∞ –∞ Indéterminé • • • Exemples : Ch1 : Limites et continuité (TS)  2  x + 3x − 1 = + G lim x→+G 2  3  lim x − 4x + 1 = – G x → –G  x lim ( x + x – 4) = −4 x→0 b) Limite d'un produit. Limite de f Limite de g Limite de f . g l l' l × l' l ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ Indéterminé Exemples : • • 2 1 lim ( x + 3)  – 4 = – G x→+ x  lim 2 × ( x + 5) = F.I. x→0 x   c) Limite d'un quotient. Par rapport à multiplication, la division ajoute le fait qu'on ne peut

  C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ; Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout = lim n−→∞ n−→∞ n + 1 fn (x) x ∈ R ; donc ∆ = R. Exemple 2. ∞ xn . 2 n n=1 fn+1 (x) xn n 2 Posons fn (x) = 2 on a : lim = lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. ∞ |x|n xn 1 on

(a) Soit la fonction g dérivable, dénie sur [0 ; +∞[ par g(x) = x e − 1. g (x) = 2xex + x2 ex = x(x + 2)ex Puisque x ∈ [0 ; +∞[, alors g (x) 0 (nulle seulement en 0) et donc g est strictement croissante sur [0 ; +∞[ (b) g(0) = −1 et lim x2 = lim ex = +∞ donc lim g(x) = +∞ 2 x x→+∞ x→+∞ x→+∞ g est une fonction continue (car dérivable) sur [0 ; +∞[ ; l'ensemble des images g(x) est l'intervalle [−1 ; +∞[ et 0 ∈ [−1 ; +∞[ ; donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe

1 =0. x →+∞ x 3 a) lim x 3 = +∞ (c’est une limite de fonction de référence) donc lim x →+∞ b) lim x 5 = +∞ : c’est une limite de fonction de référence. c) lim x 7 = −∞ : attention : le « moins » est à une puissance impaire (7). x →+∞ x →−∞ d) lim x →−∞ 1 = 0 car lim x 4 = +∞ 4 x →−∞ x : ici , la puissance de x est paire (4). e) lim x 2 = +∞ : c’est une limite de fonction de référence. 1 =0 x →−∞ x : c’est une limite de fonction de référence. x →−∞ f) lim 8 2061 TC PA 00 43 Corrigé

partir du rang n2. Activité 3 Limites « piégeuses » Cette activité permet de découvrir l’existence des formes indéterminées : ici la forme indéterminée « 0 ×  ». 1. a. lim  un = +  et lim  vn = 0. n→+ ` n→+ ` b. unvn = n, d’où lim  un vn = + . n→+ ` 2. a. lim  wn = 0 et lim  tn = + . n→+ ` n→+ ` b. wn tn = 1 , d’où lim  wn tn = 0. n n→+ ` 3. On trouve dans un cas +  et dans l’autre cas 0 : on ne peut donc pas énoncer un résultat général. Activité 4 Les gendarmes et le voleur Cette activité

x→−1+ x→+∞ lim f (x) = −∞ car lim + 1 + x = 0+ et lim + ln(1 + x) = −∞ x→−1 x→−1 x→+∞ x→+∞ lim f (x) = +∞ car lim 1 + x = +∞ et lim ln(1 + x) = +∞ Tableau de variations de f : x f (x) f (x) −∞ ′ −1 + +∞ +∞ 2. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par g (x) = f (x) − x. (a) lim g (x) = −∞ : x→−1 x→−1 lim g (x) = lim 1 − x + ln(1 + x) = −∞ car lim + 1 + x = 0+ , lim + ln(1 + x) = −∞ et lim 1 − x = 2 x→−1 x→−1 x→−1 x→−1 (b) x→+∞ lim ln(1 +

par partie calculer G(x) puis montrer que G admet une limite en + ∞que l' on précisera c) Montrer que pour tout t ∈ [Log2;+∞[ ona : f(t) ≤ 2t 2 e -t en déduire qu' il existe un reél positif M tel que : pour x ∈ IR + ona : F(x) ≤ M d) en déduire que lim f(x) ≤ M quand x → +∞ (dans la suite du probleme on pose L = limF(x)) B) dans cette partie n ∈ IN * 1) a) Montrer que pour x ∈ IR + ona : 1 e -nx = e - x + e -2x + ....... + e -nx + x e −1 ex − 1 x a(2 - a) b) montrer que pour tout x ∈ IR + on a : 0

∗ avec p pair, i impair. 1. lim x→−∞ x = −∞. 2. lim x→+∞ x = +∞. 3. lim x→−∞ x 2 = +∞. 4. lim x→+∞ x 2 = +∞. 5. lim x→+∞ x n = +∞. 6. lim x→−∞ x p = +∞. 7. lim x→−∞ x i = −∞. 8. lim x→−∞ 1 x = 0−. 9. lim x→0− 1 x = −∞. 10. lim x→0+ 1 x = +∞. 11. lim x→+∞ 1 x = 0+. 12. lim x→+∞ √ x = +∞. 13. lim x→−∞ e x = 0+. 14. lim x→+∞ e x = +∞. 15. lim x→+∞ √ x x = 0+. 16. lim x→0 sin(x) x = 1. 17. lim x→0 cos(x)− 1 x = 0. 18. lim x→−∞ x n e x = 0−. 19. lim x→+∞ ex xn = +∞. 20. lim x→0 ex − 1 x = 1. 1/5Formes

de Wallis π 2 On pose In = sinn xdx 0 1) Calculer I0 et I1 2) Montrer que la suite (In ) converge 3) Etablir une formule de récurrence entre In et In−2 4) Montrer que le produit (n + 1) In In+1 est constant 5) Calculer lim In In lim lim n→+∞ In+1 n→+∞ √ n→+∞ nIn 6) Calculer I2n et I2n+1 sous forme de produit et en déduire une suite de rationnels convergeant vers π 2.1 Correction de l'exercice 15 1) I0 = π 2 0 dx = π , I1 = 2 On pose

appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ fn (x) n+1 donc ∆ = R. ∞ xn Exemple 2 : . 2 n n=1 fn+1 (x) xn n 2 Posons fn (x) = 2 on a : lim = lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. ∞ |x|n xn 1 on