LIM

cette introduction. Ne pas confondre contraposée et réciproque : la réciproque de la propriété P ⇒ Q est la propriété Q ⇒ P : la réciproque d’une implication vraie peut être fausse. 8 Techniques de base L’implication « la série Sun converge ⇒ lim un = 0 » est vraie. n→+∞ Sa contraposée est vraie, mais sa réciproque est fausse : la suite converge vers 0, et la série n∈N 1 diverge (voir § 1.4.2). n 1 n n∈N∗ Raisonnement par l’absurde Pour montrer qu’une propriété P est vraie, on suppose

Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N converge et lim un + αvn = lim un + α lim vn . n→+∞ n→+∞ n→+∞ • La suite (un vn )n∈N converge et lim un vn = ( lim un )( lim vn ) n→+∞ n→+∞ n→+∞ • Si la suite (un

) = n ln x + Propriété II.4 La fonction ln est une bijection strictement croissante de ]0; +∞[ sur R vérifiant : x→+∞ lim ln x = +∞ et x→0 lim ln x = −∞ Remarque : ln est donc un homomorphisme bijectif de groupe. On dit que c’est un isomorphisme de groupe de (R∗ , ×) sur (R, +) + Exercice 2.5 ∗ 1. Montrer que : ∀x ∈ R+ , ln(x) ln x =1 2. Montrer que lim x→1 x − 1 x − 1. Quel est le cas d’égalité ? II.2 Fonction exponentielle Propriété II.5 La fonction ln est une bijection

lecture de la table fournie (ou utilisation de la calculatrice) : P(X 250) = 0,846. E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 5 points Partie A 1. lim (x + 1) = +∞ et lim ex = +∞, donc, par opérations lim f (x) = +∞. x→+∞ x→+∞ x→+∞ Pour tout x ∈ R, f (x) = xex + ex . Or lim xex = 0 (croissances comparées) et x→−∞ lim ex = 0, donc, par opérations lim f (x) = 0. x→−∞ x→−∞ 2. Pour tout réel x, f ′ (x) = 1ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex . 19 JUIN 2013 — Corrigé du baccalauréat S — Antilles–Guyane juin

– t E × RC. q(t) = ke RC + R q(t) = ke– RC t + EC (k ∈ ). c) q(0) = 0 équivaut à k = – EC. Donc q(t) = EC(1 – e – 1 t RC 1 Pour t = τ, y = 0, cette tangente passe par T’, il s’agit de la droite (AT’). i 0,05 A ). 2. a) lim e t→+∞ – 1 t RC = 0 donc lim q(t) = EC, donc Q = EC. t→+∞ – t b) τ = RC. q(t) = EC(1 – e τ ). • q(τ) = Q(1 – e–1). 1 – e–1 ≈ 0,63, donc pour t = τ le condensateur est chargé à environ 63 % de sa charge maximale. • q(5τ) = Q(1 – e–5). 1 – e–5 ≈ 0,99,

C 3 · 4 La droite Tk coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées ;0 . 5 y Ck Tk  x ı A C3 3 1. a) Limites de la fonction f 1 en −∞ et en +∞ : 1 1 = −∞, car lim x = −∞ et lim x = +∞ x x→−∞ x→−∞ e e x ex lim f 1 (x) = lim x = 0, car lim = +∞ x→+∞ x→+∞ e x→+∞ x lim f 1 (x) = lim x × x→−∞ x→−∞ b) Variations de la fonction f 1 : f 1 (x) = ex − xex 1 − x = x a même signe que 1 − x e2x e Tableau de variations de f 1 : x f (x) −∞ + 1 0 1 e +∞ − f (x) −∞

l’intervalle ]0 ; +1[. Afin d’obtenir le tableau de variation complet de f on détermine les limites aux bornes de l’ensemble de définition : Limite à droite en 0 lim x!0 x>0 x = 0 et lim x!0 x>0 ln x = 1 donc par addition lim x!0 x>0 f (x) = 1 Limite en +1 lim x!+1 x = +1 et lim x!+1 ln x = +1 donc par addition lim x!+1 f (x) = +1 On a donc le tableau de variations : x f 0 +1 1 +1   0 La fonction f est continue, strictement croissante sur ]0 ; +1[ et l’image de l’intervalle

maths-france.fr 4 c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés. d) f(0) = e0 + 0 − 4e0 − 4 = −7. D’autre part, lim e2x = x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ aussi lim 4ex (x − 1) = +∞ et finalement lim f(x) = +∞. X→ +∞ lim eX = +∞ et donc lim (e2x − 4) = +∞. Mais on a x→ +∞ Maintenant, la fonction f est continue et strictement croissante sur [0, +∞[ et on sait que pour tout réel k de [f(0), lim f(x)[= x→ +∞ [−7, +∞[, l’équation f(x) = k admet une solution et une seule dans [0, +∞[. En particulier, comme

fonction g auxiliaire 1. _ (a) Nous avons : lim f (x) = −∞ x→0+ Car : • lim+ (x + 1) = 1 x→0 • lim+ (x − 1 + ln x) = −∞ x→0 • lim+ x2 = 0+ x→0 et donc : la courbe représentative de f notée Cf admet une asymptote verticale d’équation x = 0 (b) Nous avons : lim f (x) = +∞ x→+∞ Car : • lim (x + 1) = +∞ x→+∞ • x − 1 + ln x = 0+ du fait que : x2 1 x − 1 + ln x ∼ +∞ x x2 car ln x = o (x − 1) par croissances comparées. lim x→+∞ +∞ (c) Comme au voisinage

u p de la suite tel que u p A . Or la suite étant croissante, si l'on prend n p , on aura u n u p , donc, a fortiori, u n A . On a donc prouvé que, à partir du terme u p , tous les termes de la suite sont supérieurs à A. C'est la définition de lim  un =∞ . Théorème 2 : 1. Si une suite est à la fois croissante et majorée alors elle est convergente. 2. Si une suite est à la fois décroissante et minorée alors elle est convergente. Ce théorème est admis. Exemple : Soit la suite  v n  définie