LIM

cumuler, d’où systèmes et intersections d’intervalles Limites et asymptotes C’est aux bornes (finies ou infinies) de l’ensemble de définition de f que l’on étudie ses limites. Interviennent alors : - Les limites « usuelles », souvent intuitives ( lim x 2 = +∞ , etc…) x →+∞ - Les limites par comparaison (théorème de minoration, de majoration, théorème dit « des gendarmes ») - Les opérations entre limites (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient, d’une composée). En cas de forme indéterminée

Département Maths-Informatique 1 année LMD Analyse 01 Logarithmes et exponentielles I Fonction logarithme népérien y 1 0 1 x • Définition et graphe Elle est définie pour x > 0 par : 1 ∀x > 0 (lnx) = · x Elle est strictement croissante. lim+ ln x = −∞; lim ln x = +∞. x→0 x→+∞ ln 1 = 0 ; L'unique solution de l'équation ln x = 1 est notée e (e ≈ 2,718 ). • Propriétés algébriques ∀a > 0 ∀b > 0 ∀r ∈ Q ln (ab) = ln a + ln b • Convexité ; ln (a r ) = rln a ; ln a b = ln a − lnb . La fonction

d’abscisse −1. Correction 1. Il faut lire les coefficients directeurs sur la figure pour f’(0), f’(−2) et f’(1) : f  0  1 f ' 0   f  2    1 1 2 f 1  f '  2   0 3 2 f '1  2 f (x)  f (0) x x  lim  lim x  0  f '(0) . x0 x0 x x0 x 0 2. On calcule lim On peut calculer avec la formule f (x)  x x  x1 x1/2  x3 /2 d’où f '( x)  3 2 du 3 1 x2 produit,  3 2 1 x2  mais c’est plus élégant de passer par 3 x . La dérivée n’existe que lorsque x  0

limite que l = et donc que 2 2 ′. l=l Corrigé de l’exercice 1.5 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], dérivable sur ]a, b[, ayant une dérivée strictement positive en tout point. Soit x0 ∈]a, b[. Comme f ′ (x0 ) > 0, on a : x→x0 lim f (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 ) > 0. x − x0 Donc, il existe α > 0, avec x0 + α ≤ b, tel que pour tout x ∈]x0 , x0 + α [, f (x) − f (x0 ) ≥ 0. Soit E l’ensemble des x tels que cette inégalité ait lieu. Cet ensemble est non vide et majoré par b. Il

1 1 = + + 3 2n 6n 2 6n 2 TS DM1 : quadrature de la parabole Page 5 G. COSTANTINI n→+∞ lim 1 1 =0 = lim n→+∞ 6n 2 2n 1 1 1 1 + + 2 = 3 3 2n 6n n→+∞ D'où, par somme : n→+∞ lim lim Sn = 1 3 1 n 1 3 Par ailleurs, on a vu que : On obtient donc, par somme :   sn = Sn − n→+∞ * lim sn = Concluons : on a vu que, pour tout n ∈ : Comme lim sn = lim Sn = n→+∞ n→+∞ 1 , le théorème des gendarmes permet d'affirmer que : 3 A= Conclusion : l'aire du

P ´ p(C) = 9 10 × 3 4 7 10 = 27 28 . La bonne réponse est donc d.. Exercice 2 8 points 1 2 3 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y C (D) (T) Partie A 1. a. On a lim x→+∞ e−x = 0, donc lim x→+∞ 1+e−x = 1 donc lim x→+∞ ln(1+e−x ) = 0 donc lim x→+∞ f (x) = +∞ b. Comme f (x)− 1 3 x = ln(1+e−x ) et que lim x→+∞ ln(1+e−x ) = 0, on en déduit que la droite (D) est asymptote à (C ) au voisinage de +∞. c. Comme f (x)− 1 3 x = ln(1+e−x ) et que ∀x ∈ R, {−x} > 0, on a 1+e−x > 1

que y0′ (x) = − (f) On montre que µ = 1 et λ = 0. Partie B ´ (Etude de la fonction f ) 1. x 0 1 +∞ f (x) +∞ ց 0 ր 2. 3. On remarque que f (x) 4. F (x) = 1 5. lim ǫ→0 ǫ ǫ>0 x2 − x ln x. 2 0 pour tout x ∈ R∗+ . 1 f (x) dx = F (1) − lim F (ǫ) = . ǫ→0 2 ǫ>0 M 6. lim M →+∞ 1 f (x) dx = www.emmanuelmorand.net lim F (M ) = +∞. M →+∞ 1/2 supTSI1112DiversCB2correction Sup Tsi Partie C R´eponses de l’´epreuve de Math´ematiques 2 du Concours blanc (Comparaison des moyennes) a1

on dit que f − → admet pour limite le vecteur en t 0 lorsque : . − → − → lim f (t) − =0 t→t 0 .y(t) . b − .→  O . − → − → .f (t) − − → . . . − → .f (t) − → − → − → − → Notation : lim f (t) = ou f (t) −→ . t→t 0 t→t 0 − .→ ı . a . (t) x Caractérisation de la limite avec les fonctions coordonnées : THÉORÈME 7.1  . . −→  x(t) t→t a − → − → − → − → → → → → 0 ı  = a− + b− alors : lim f (t) = ı  Si f (t) = x(t)− + y(t)− et si ⇐⇒ .  y(t) −→ b t→t 0 t→t

∀x ∈ I, ex ≥ e−x (la fonction exponentielle est croissante sur R), la fonction sh est positive sur I et par suite ch est croissante sur I. Cela permet en particulier d’affirmer que : ∀x ∈ R, ch x ≥ ch 0 = 1. ch x ex + e−x Il est d’autre part clair que lim ch x = +∞. On observe alors que = tend x→+∞ x 2x vers +∞ quand x tend vers +∞. La courbe repr´esentative de la fonction ch admet donc une branche parabolique de direction asymptotique (Oy). y = ch x ✻ O ı ✲ Remarque : Cette courbe est appel´ee

f tend vers ` quand X ! X0. On note lim X0 f = lim X0!X0 :f (X) Exemple 35 Trouver le domaine de denition de la fonction (x; y) ! f(x; y) = (x2 + y2) sin( 1 + x y ): Df = R2 f(x; 0); x 2 Rg: Chercher lim (0;0) f ? On sait que  sin(1+x y )   1 (x2 + y2)  sin( 1 + x y )   x2 + y2 1.9 Continuite d'une fonction de plusieurs variables 15 x2 + y2 | {z } # 0  (x2 + y2) sin( 1 + x y )  x2 + y2 | {z } # 0 lim (0;0) f = 0 Theoreme 36 Soient