LIM

quelconque, il existe une infinité de moyennes possibles. Toutefois, quatre moyennes méritent un étude approfondi. (1) Si  = −1, la formule (1.3) donne la moyenne harmonique −1 . (2) Pour  = 0, la formule (1.3) n’est pas définie. Toutefois, la limite 0 ≡ lim→0  existe et coïncide avec la moyenne géométrique pondérée (voir la section consacrée à la moyenne géométrique). (3) Pour  = 1, on trouve la plus importante de toutes les moyennes : la moyenne arithmétique pondérée. (4) Pour  = 2,  = 3, etc.,

continue sur car dérivable sur . Donc f réalise une bijection de vers  lim th  x  ; lim th  x  . x   x  th'  x   Calcul de la limite en + : Soit x th  x   ex  e x ex 1  e2 x  1  e2 x , or lim e2 x  lim e X  0 avec X  2x .   x  X  ex  e x ex 1  e2 x  1  e2 x 1  e2 x  1 , alors lim th  x   1 , la fonction th étant impaire, lim th  x   1 . x x  x  1  e2 x Donc lim Donc f réalise une bijection de vers 1; 1 . f. th  0  0

limite en x0, nous noterons lim x→x0 f(x) = ℓ ou f(x) −−−→ x→x0 ℓ On peut aussi dire que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers x0. Pour que ceci ait un sens, il faut montrer l’unicité de la limite — quand elle existe. Proposition 2.2.2. Si une fonction admet ℓ et ℓ′ pour limites en un même point x0, alors ℓ = ℓ′. Démonstration. Même principe que pour l’unicité de la limite d’une suite. Nous avons clairement les équivalences : lim x→x0 f(x) = ℓ ⇐⇒ lim x→x0 (f(x) − ℓ) = 0 ⇐⇒ lim x→x0 |f(x) − ℓ| = 0 Proposition

t2) dépend en général de t2. Cette grandeur caractérise d’autant mieux la manière dont le mobile se déplace à l’instant t que l’intervalle ∆t = t2 – t est petit. Dès lors on définit la vitesse instantanée à l’instant t par : v(t) ≡ lim = x(t + ∆t) − x(t) ∆x = lim ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 dx(t) dt La vitesse instantanée d’un point matériel est la dérivée de sa coordonnée spatiale x par rapport au temps t, à l’instant considéré(*) : v ≡ dx dt (I.1) Par conséquent, pour retrouver la position

croissante. 2. Montrer que v diverge et que lim n→+∞ vn = +∞. 3. Pour tout n de N, on pose : un = ln(vn). Exprimer un en fonction de n et en déduire vn en fonction de n. Retrouver les réponses aux questions précédentes à l’aide de cette expression. Correction no 9. 1. On montre par récurrence que : ∀n ∈ N, vn > e. Du coup : ∀n ∈ N, vn+1 vn = evn > e2 > 1 donc v croît. 2. On peut montrer par récurrence que : ∀n ∈ N, vn > en, et par comparaison, lim n→+∞ vn = +∞. On peut aussi raisonner par

) = 10 − β donc h′ ( t ) = 0 donc h′ ( t ) + h ( t ) = 10 − β donc h est solution de ( E1 ) . 2 y′ + y = 0 ⇔ y ( x ) = λ e−2 x , λ ∈ 2) Solution homogène: 2 ( ( ) ) Solution générale: y ( x ) = λ e−2 x + 10 − β , λ ∈ 4) f∞ = lim β e −2 x − 1 + 10 = − β + 10 3) Solution particulière avec condition initiale: y ( 0 ) = 10 ⇔ λ + 10 − β = 10 ⇔ λ = β d’où y ( x ) = β e−2 x + 10 − β . PARTIE B 1) On va appliquer la formule selon laquelle t F ( p) → ∫0 f ( u )U (u ) du

convergente ; on dira qu’elle est divergente (ou qu’elle diverge) sinon. Lorsque la série de terme général an est convergente, on appelle somme de la série an +∞ la limite des sommes partielles. On note k=0 +∞ ak la somme, c’est-à-dire n ak = lim k=0 n→+∞ ak . k=0 Étudier la nature d’une série c’est déterminer si elle converge ou non. Exemples 1. La série 1 est convergente. En effet, pour tout entier naturel n 2n+1 n Sn = k=0 1 2k+1 =1− 1 2n+1 · La suite géométrique

Commençons par rappeler deux résultats fondamentaux que vous connaissez déjà par cœur (si ce n’est pas le cas, dépêchez-vous de les apprendre). Théorème 1. • Pour tout x ∈ ] − 1, 1[ : 1 = lim 1 + x + x2 + · · · + xn . 1 − x n→∞ x2 xn x + + ··· + . n→∞ 1! 2! n! Le premier s’obtient à partir de l’identité : ex = lim 1 + 1 − xn+1 = (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn ) . Le second se déduit de la formule du binôme de Newton et est démontré dans le chapitre sur les fonctions usuelles. Il faut voir dans (1)

La catastrophe d’AZF L’apport des sciences humaines et sociales sous la direction de Gilbert de Terssac et Irène Gaillard 11, rue Lavoisier F-75008 Paris Catastrophe d'AZF (Terssac) Lim 01-14.indd 1 16/11/2007 11:25:11 Dans la même collection Sociologie d’une crise alimentaire – Les consommateurs à l’épreuve de la maladie de la « vache folle » série « Innovations » J. Raude, 2008 Risques et enjeux de l’interaction sociale série « Notes de synthèse et de recherche » J.-M. Stébé, 2008 Le cadre

Exercice 4 [ 02250 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que (un + vn ) et (un − vn ) convergent. Montrer que (un ) et (vn ) convergent. Exercice 5 [ 02251 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites convergentes. Etudier lim max(un , vn ). n→+∞ d) un = n−1 n+1 n Exercice 11 [ 02256 ] [correction] Déterminer par comparaison, la limite des suites (un ) suivantes : sin n n! a) un = n+(−1)n+1 b) un = nn c) un = n−(−1)n n+(−1)n d) n un = en nn Exercice