LIM

que f (x) − ax − b tend vers 0 quand x tend vers +∞. De fa¸con informelle, la courbe repr´esentative se rapproche de la droite quand x tend vers +∞. S’il existe une telle droite, on a n´ecessairement a = lim f (x) = 21 x x→+∞ Soit x ∈ D. Calculons f (x) − 12 × x. x f (x) − 21 × x = 2(x−1) Donc lim f (x) − 12 × x = 21 . x→+∞ On en d´eduit que f admet la droite d’´equation y = 12 x + 12 comme asymptote en +∞. Pour faire une belle figure on cherche ´egalement la position de la courbe de f par rapport

(t) dtn = pn F (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f (0) − · · · − f (n−1) (0) (1.4) Cette propriété se déduit par itération de la propriété (1.3). Théorème de la valeur initiale : lim f (t) = lim pF (p) p→∞ t→0 (1.5) Démonstration : utiliser la propriété (1.3) Théorème de la valeur nale : lim f (t) =lim pF (p) t→∞ p→0 (1.6) La démonstration de cette propriété est du même ordre que celle du théorème de la valeur initiale. Attention : ceci est valable uniquement pour les

0 et 1. Il en r´sulte que e e a e 0 Or f 2 est positive et continue sur [0, 1]. Il en r´sulte que f 2 donc f est nulle sur [0, 1]. e (c) Il en d´coule, pour tout entier n, lim f (n) (x) = 0. e x→0+ Or, comme f est C ∞ sur ] − R, R[, f (n) est en particulier continue en 0. De sorte que f (n) (0) = lim f (n) (x) = 0 pour tout entier n et ainsi f est bien nulle sur ] − R, R[. x→0+ 1 est d´finie et de classe C ∞ sur R mais son d´veloppement en s´rie enti`re e e e e 1 + x2 que

∈ R+ , lim |an | rn = 0 n→∞ Théorème : R = sup {r, r ∈ R+ , la suite (an rn ) est bornée} L’intérêt de ces théorèmes est qu’il suffit d’étudier la suite (|an | rn ) pour déterminer le rayon de convergence. Il est donc inutile d’étudier la série, ce qui est plus complexe. Le premier résulte immédiatement de la convergence d’une série entière, on montre le second : Démonstration : On a lim |an | rn = 0 ⇒ (|an | rn ) est bornée d’où R r, ce qui entraine n→∞ R n→∞ sup r, r ∈ R+ , lim |an | rn

2010, pour x = 10 : y = 113 e 0,171×10 = 625 . Avec ce modèle, on peut estimer qu’il y aura 625 ordinateurs à la rentrée 2010. Deuxième partie 1) On a : f ( x ) = 113 e x →+∞ 0,171 x . x →+∞ x →+∞ lim 0,171 x = +∞ et X →+∞ lim e X = +∞ , donc : lim e 0,171 x = +∞ ; d’où : lim f ( x ) = +∞ . 2) a) Pour tout réel x de [0; +∞[ : f ' ( x ) = 113 × 0,171 × e0,171 x = 19,323 e0,171 x . Comme e 0,171 x > 0 , alors f ' ( x ) > 0 pour tout réel x de [0; +∞[ . b) Comme f ' ( x ) >

-1 1- raison nombre de termes = u0 . ce qui donne S = u0 1-1,157 0,157 1- raison 3) Déterminons la limite de la suite géométrique (un). On sait, selon la question 1, que un =(1,157)n uo. La raison b=1,157 est supérieure à 1 donc lim (1,157) n = +∞ et par conséquent, lim u n = +∞ car u o > o. n →+α n →+∞ Partie B 1) Soit P1 le prix de l’objet le 1er Janvier 2014. Au bout d’une année, le prix aura augmenté de 15,7 % donc P1 = P0 + 82063CTPA01 15,7 P soit P1 = 1,157 P0. 100 0 1/4 2) D’une année

utilise le théorème de la valeur initiale pour obtenir la valeur initiale de f(t). lim t →0 y (t ) = lim p→ +∞ pY ( p ) = lim p →+∞ p − 0,1 ⋅ (100 p + 1) = −1000 ( p + 1)(0,01 p + 1) c) L’entrée du filtre est un échelon de transformée de Laplace 1/p. La transformée de Laplace Y(p) de la sortie du filtre y(t) est donc F(p)/p. On utilise le théorème de la valeur finale : lim t →+∞ f (t ) = lim p →0 pY ( p ) = lim p→0 Exercice n°2 : La transformée de l’équation différentielle 5 ⋅ dx(t ) + x(t )

f(un+1) ∈ [0, 1]. On a ainsi prouvé le résultat au rang n+ 1. On a montré que (un)n∈N est croissante et qu’elle reste dans [0, 1]. Par théorème de limite monotone, la suite converge et de plus (passage à la limite dans une inégalité large) ` = lim n→+∞ un ∈ [0, 1] 2. Comme f(1) = 1, l’ensemble A = {x ∈ [0, 1]/ f(x) = x} est non vide. Comme il est minoré, il admet une borne inférieure xf . Mais A = (g − Id)({0}) est fermé (image réciproque par une application continue d’un fermé) et donc

1 Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) 6 f (x) 6 v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim x!a f (x) = l 2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez voisin de a »on a f (x) > u(x), et si : lim x!a u(x) = +1, alors lim x!a f (x) = +1 (Énoncé analogue pour −1) Démonstration : Dans le cas où a = +1(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée

5. 2 participant(e)s Paris Métro IDF Sotteville les Rouen HNO VERDY-FROSIO Vincent ACCLEMENT Alexandre MANZARI Mygwel ASSARAR Youssef BOUNOUA Ayoub MULBOCUS Ishaan 6 participant(e)s Rosny sous Bois IDF Limoges ASPTT LIM St Yrieix la Perche LIM Joué les Tours CL OTO Mitry Mory IDF Rouen ASPTT HNO AMOURA Rayane GASULL Marius HACHIMI Alexis RHAMANI Kylian ABANE Mohamed SADIKI Bilal 6 participant(e)s E.S.L IDF Rouen ASPTT HNO St Quentin de Baron AQU Créteil