LIM

les compétences qui permettent de calculer des limites et d’étudier le comportement des fonctions (comment leur graphe se comporte au bord du domaine de définition). Comportement asymptotique local ⋆ Si a ̸∈ D et si lim x→a f(x) = b ∈ R, alors f a un trou en (a; b) ⋆ Si a ̸∈ D et si lim x→a f(x) = ±∞, alors f a une AV d’équation x = a f est une fonction rationnelle si f(x) = polynôme du numérateur polynôme du dénominateur Comportement asymptotique à l’infini ⋆ Si le degré du numérateur est plus petit

toutes les questions, on considère la fonction f définie sur l’intervalle ] − 1; +∞[ par : Exercice 1 1 . x+1 On appelle C sa courbe représentative dans un repère donné du plan. f (x) = 2 − 1 ) On a : lim f (x) = −∞ car lim x + 1 = 0− x→−1 x→−1 2 ) La courbe C admet une asymptote d’équation : y = 2 car lim (f (x)) = 2 x→+∞ 3 ) Pour tout réel x de l’intervalle ] − 1 ; +∞[, f (x) peut s’écrire : f (x) = 4 ) Le signe de f (x) sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ est donné par le tableau : Ü ´Üµ 2x + 1 x+1  ½

ce qui donne a = – 5. = 0. ΃ T+T = ln x – ln 2. 1 1 –0= . x x b) 2 0 2 0 2 ͵ x 2 3. a) F’(x) = 1. Énoncé 2 1. La valeur moyenne de 2f sur [0 ; 2T ] est : 1 2T x 2 2 2 1 b) F’(x) = Énoncé 1 x 2 1 f(x) dx = 2m – 1. D’où, lim+ h→0 89 F(x + h) – F(x) = f(x). h © NATHAN La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 6 37 TP3 b) et c) (STI2D/STL SPCL) Partie A 1. a) Les sommets de R0 ont pour coordonnées (1 ; 0) ; (1 ; 1) ; ΂ 54 ; 1΃ et ΂ 54 ; 0΃. ΂ Les sommets

e 2. V´rifier le r´sultat sur la calculatrice. e e Solution : 1. Pour tout r´el h non nul,n le taux d’accroissement de f entre 1 et 1 + h est : e τ (h) = f (1 + h) − f (1) (1 + h)2 + (1 + h) − (12 + 1) 3h + h2 = = =3+h h h h Or, lim (3 + h) = 3. Donc f est d´rivable en 1 et f (1) = 3. e h→0 Pour trouver la limite de τ (h) lorsque h tend vers 0, on peut souvent remplacer h par 0 apr`s avoir simplifi´ l’expression e e (plus de h au d´nominateur). e TI Casio MATH Appuyer

-ln(n + 1) + ln æ ç ÷ = -ln(n + 2) èn+2ø D'où Ã(n + 1). La propriété Ã est donc héréditaire. On en déduit que la propriété Ã est vraie pour tout entier n  1. C'est-à-dire, pour tout n Î  : Enfin, on a : D'où : Sn = -ln(n + 1) lim ln(n + 1) = +¥ n®+¥ n®+¥ lim Sn = -¥ Exercice 2 (4 points) L'urne U1 contient trois boules noires et donc k - 3 boules blanches. L'urne U2 contient deux boules noires et donc k - 2 boules blanches. L'urne U3 contient une boule noire et donc k - 1 boules blanches

limites suivantes : lim𝑥→0 ( 𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑥 ) ; lim𝑥→0 ( 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 ) ; lim𝑥→0 ( √1+𝑥−1 𝑒𝑥−1 ) ; lim𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥2 lim𝑥→2 ( 𝑥2−4 𝑥2−3𝑥+2 ) lim𝑥→0 ( 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥 ln (1+𝑥) ) ; lim𝑥→0 𝑥2+2|𝑥| 𝑥 ; lim𝑥→−∞ 𝑥2+2|𝑥|

(Ai ) i=1 n ∞ 3. Continuité (union) : ∀ (Ai )i∈N ∈ F N / ∀i ∈ N, 4. Continuité (intersection) : ∀ (Ai )i∈N ∈ F N / ∀i ∈ N, Lemme : Ai ⊃ Ai+1 on a : ν ( ∞ ∞ Ai ⊂ Ai+1 on a : ν ( ∞ Ai ) = lim ν ( i=1 n→∞ i=1 n Ai ) = lim ν (An ) n→∞ Ai ) = lim ν ( i=1 n→∞ i=1 Ai ) = lim ν (An ) n→∞ 1. Si ∀i ∈ N, ν (Ai ) = 0 alors ν ( i=1 Ai ) = 0. ∞ 2. Par complémentation si ν est une mesure de probabilité : si ∀i ∈ N, Définition : Soit (Ω, F , ν ) un espace mesuré. 1. A est

dt a a f (t ) dt ⇐⇒ a f (t ) dt a g (t ) dt comme voulu. PARTIE B 1. f 1 est la fonction définie sur R+ par : ∀x ∈ R+ , f 1 (x) = ln(1 + x). a. Déterminons la limite de la fonction f 1 en plus l’infini : lim 1 + x = +∞ ∧ lim ln = +∞ +∞ composition x−→+∞ =⇒ lim f 1 = +∞. +∞ b. La fonction x −→ 1 + x est dérivable sur R+ et est en outre strictement positive sur cet intervalle. D’où f 1 , composée de cette fonction par le logarithme népérien est dérivable sur R+ . (ln u) =

de ζ(2) = p= 1 1 π2 = p2 6 I. Par la méthode de Wallis 1. On pose Cn = π 2 ¡  cosn (t ) dt . 0 a) Calculer C0 et C1. b) Pour n 2, exprimer Cn en fonction de Cn−2. c) En déduire les valeurs de C2n et de C2n+1. d) Calculer lim n→+∞ C2 n . C2 n + 1 π 2 2n + 1 n ¢ e) En déduire : ¡ (2n)!! ~ (2n − 1)!! 2. On pose In = π 2 2 0 t cos2 n (t ) dt et un = 2 (∀n p =1 1 . p2 a) Démontrer que un b) Pour tout n 1). En déduire que (un) admet une limite

(−∞)(+∞) = −∞ x(+∞) = +∞ x(+∞) = −∞ Formes indéterminées On ne donne pas de valeur aux expressions suivantes : (+∞) + (−∞), 0(+∞) et 0(−∞). Ces expressions sont appelées formes indéterminées.    lim un = λ ⇒ lim (un + vn ) = λ + µ Utiliser R permet de simplifier les énoncés du genre : n→+∞ n→+∞  lim vn = µ n→+∞ Ce résultat est en effet vrai pour tous λ, µ de R à l’exception des formes indéterminées pour lesquelles on devra faire une étude plus poussée (on devra donc lever la forme indéterminée)