LIM

2 . 2. Déterminons les limites de la fonction f aux bornes de son domaine de définition : (1 pt) lim x 2 − 12 x + 8 = 8 x →0  par somme x >0   ⇒ lim f ( x ) = −∞ . x →0 lim (16 ln x ) = −∞  x >0 x →0  x >0  1. Calculons f ( 4 ) et donnons le résultat en fonction de ln 2 : (0,5 pt) ( ) lim ( x 2 − 12 x + 8 ) = lim ( x 2 ) = +∞  par somme  x →+∞ x →+∞  ⇒ xlim f ( x ) = +∞ . →+∞ lim (16 ln x ) = +∞  x →+∞  3. Calculons f ' ( x ) puis étudions son signe et dressons le tableau

kx 1 e x k e x kx e x kx k1 x e x kx . b. Soit x 0. fk (x ) = ln(ex + k x ) − x = ln(ex + k x ) − ln (ex) = ln par croissances comparées, donc lim x e x kx e x ln 1 k x ex . x lim ex x x ex 0 en passant à l’inverse. On en déduit : lim 1 k x x ex 1 . Or lim ln( y) 0 . Par composée, lim f x y 1 x 0. c. k > 0 et ex + kx > 0 sur [0 ; + [, donc fk’ (x) est du signe de 1 – x sur [0 ; + [. fk(1) = ln (e + k) – 1 x Signe fk’(x) Variations de fk

Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √ 1 1 , valeur absolue, x sin x et x2 sin x . Exemples. xn , la fonction inverse, Par un changement de variable, on peut ´galement ´crire que si f est d´rivable en a, alors e e e f (a) = lim – On note ε(h) = f (a+h)−f (a) h f (a + h) − f (a) . h→0 h h→0 − f (a). Alors lim ε(h) = 0. En exprimant f en fonction de ε, on en d´duit qu’il existe une fonction ε d´finie dans un

×2 p 6×2 p 6 = 4×6 3 = 8. EXERCICE 3 7 points Thèmes : Fonction exponentielle et suite Partie A : Soit h la fonction définie sur R par h(x)= ex −x 1. • lim x→−∞ ex = 0 et lim x→−∞ −x =+∞, donc par somme de limites : lim x→−∞ h(x) =+∞. • Pour x 6= 0, h(x) = x ( ex x −1 ) . Or lim x→+∞ ex x =+∞, d’où lim x→+∞ ex x −1 =+∞ et par produit de limites : lim x→+∞ h(x)=+∞ ; 2. Somme de fonctions dérivables sur R, h est dérivable sur R et sur cet intervalle : h′(x) = ex −1. • h′(x) > 0 ⇐⇒ ex −1 > 0 ⇐⇒

résultats immédiats. Le but est de s’approprier des notations. Par exemple, un exercice classique de classes préparatoires consiste à montrer que la suite (Hn − lnn)n∈N∗ où Hn = n∑ k=1 1 k , converge vers γ la constante d’Euler. Ceci s’écrivait jusque là lim n→+∞ (Hn − lnn) = γ et pourra dorénavant s’écrire Hn − lnn = n→+∞ γ + o(1) ce qui se lit Hn − lnn est égal à γ plus une suite tendant vers 0 quand n tend vers +∞. On peut donc aussi écrire Hn = n→+∞ lnn + γ + o(1). Théorème 5. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N

= n lim n→+∞ k=0 ak 10−k , on peut donc ´ecrire (cf s´eries) x = +∞ ak 10−k . k=0 4) Parties denses de R. ❤ D´efinition. Une partie A de R est dite dense dans R si et seulement si ∀(x, y) ∈ R2 tels que x < y, ∃ a ∈ A, x < a < y. ✑ The´ore`me Q et R \ Q sont denses dans R. Suites r´ eelles et complexes 6 II. Limite d’une suite r´ eelle 1) D´ efinition ❤ D´efinition. Soit (xn )n∈N , une suite de r´eels. On dit que : 1) (xn )n∈N converge ou tend vers On ´ecrit xn −−−→ ou = lim xn .

Cette relation de récurrence montre que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0, 5. On en déduit que v n = v 1 × 0, 5n . Or v 1 = p 1 − 0, 4 = 0, 5 − 0, 4 = 0, 1. Donc v n = 0, 2 × 0, 5n . c. Comme −1 < 0, 5 < 1, on sait que lim 0, 5n = 0, donc lim p n = 0, 4. n→+∞ Cela signifie que sur un grand nombre de parties, Pierre gagnera en moyenne 4 parties sur 10. E XERCICE 4 Commun à tous les candidats Partie A 7 points 1. Soit u telle que u(x) = xe−x ; alors u ′ (x) = e−x − xe−x

4 Soit ? ∈ ℕ∗ et ?? = ∫0 √tan(?)?? 1) Montrer que ?? est monotone et bornée, conclure. 2) Transformer ?? a l’aide du changement de variable ? = ?√tan(?) 1 ??−1 3) Calculer ?? = ∫0 1+?2? ?? 4) A l’aide d’une majoration convenable montrer que lim?→∞ ??? − ?? = 0 5) En déduire ?? Exercice 4 : Trouver toutes les applications ?: ℝ → ℝ+ dérivables telles que ?(0) = 1⁄3 et ? ′ + ? − ?²?² = 0 Exercice 5 : Montrer l’existence et calculer la valeur des intégrales : 1 ?−1 (a) ∫0 ?? ln(?) ∞ tanh(

s'intéresse à l'intégrale In = pn (x) cos x dx: =2 2 n 4 x2 Lemme Pour tout nombre réel K > 0; Kn = 0: n!+1 n! lim En effet, si on pose un = La suite (un )n K Kn K pour tout entier n 0; alors (8n K) 0 < un+1 = u n < un . n! n+1 est décroissante et minorée par 0. Elle converge donc vers une limite réelle l véri ant K l = lim un = lim un+1 = lim un = 0: n!+1 n!+1 n!+1 n + 1 Encadrement de In h i 8x 2 ;+ 2 2 2 2 0 4 x2 In 4 1 n! 2 9 1 2 et Z + =2 =2

039 MN.m 104 [pic]lim = 3440 [pic] + 49 fc28 – 3050 [pic]= [pic] = [pic] = 1, 373 [pic]lim = 0,2751 [pic] =[pic] = [pic] = 0,19 [pic] < [pic]lim ⋄ A’=0 [pic] = 1,25 ( 1 -[pic] = 1,25 ( 1 -[pic] [pic] = 0,265 Z= d x (1-0,4 x[pic]) = 0,27 x (1 – 0,4 x 0,265) Z = 0,241 m Au =[pic] = [pic] = 4,65 cm² Pour 5HA12 ⋄ 5,65 cm² ⋄vérifier Dimensionnement de la deuxième travée Mu= 0, 0603 MN.m 104 [pic]lim = 3440 [pic] + 49 fc28