Logarithme

Il faut donc savoir dériver un quotient, on rappelle les règles : 4 TTH METHODES DE REVISIONS 2008 f 1 x 1 x2 1 x2 2 x3 1 u −u u2 k u −ku u2 u v u v − uv v2 ax + b cx + d ad − bc (cx + d)2 f − − FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : Cette fonction est notée avec le symbole ln. Elle est définie pour x strictement positif. Elle vérifie les propriétés suivantes : 1. propriétés fonctionnelles : 1 x (b) la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[ (a) la fonction

exactement le résultat demandé. Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1. On calcule la dérivée seconde de f qui vaut : f (x) = − 1 x2 ln(x) − 1 x2 ln2 (x) . Cette fonction est négative sur ]1, +∞[. Donc la fonction est concave. 2. Par concavité de f , on a : ln ln a+b 2 ≥ √ 1 (ln ln a + ln ln b) = ln ln a ln b . 2 Passer à l’exponentielle donne le résultat. Exercice 4 - Moyenne arithmétique et géométrique - L1/Math Sup Par concavité du logarithme : ln a1 + · · · + an n ≥ ln(a1 ) + · · · +

National S 2008 Intégration de fonction logarithme - Géométrie dans l’espace - Complexes – Probabilité Annales bac S non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2008/bac_s_national_2008.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2008 Épreuve : MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte

tous. D’apr`s ce qui pr´c`de, il faut c e e e trouver tel que b −1 < n ≤ b , 1.4. RAPPELS SUR LE LOGARITHME EN BASE 2 3 pour avoir le nombre de chiffres minimum ` utiliser pour bien tous les distinguer. C’est a ´quivalent ` e a − 1 < logb n ≤ ⇔ logb n = . Pour distinguer n objets, il faut donc utiliser logb n chiffres. Pour le cas binaire, il faut log2 n bits. 1.4 Rappels sur le logarithme en base 2 ln x ln 2 On rappelle que pour tout r´el x > 0, log2 (x) = e et v´rifie les propri´t´s

et sa commercialisation4 III/ La communication par ordinateur5 IV/ L'évolution de l'ordinateur6 LEXIQUE7 I/ Historique L'origine de l'ordinateur est le boulier aussi appelé abaque, il fut inventé en l'an 700. Puis John Napier inventa les logarithmes en 1614 permettant ainsi dès 1620 l'utilisation de la règle à calcul. En 1642, Blaise Pascal créa la machine d'arithmétique (baptisée Pascaline), une machine capable d'effectuer des additions et soustractions, destinée à aider son père, un percepteur

échelonnés suivante : ∆TCindext = ∑ A∆TCindext − i + ∑ B∆f t − j + µECt −1 + ε t (2) i =1 j =1 n k ∆TCindext = ∑ ai ∆TCindext − i i =1 n ⎡b1 j ⎤ ⎢ ⎥ k b2 j + ∑ ⎢ ⎥∆f t − j + µECt −1 + ε t ⎢ ⎥ j =1 ⎢ ⎥ ⎢bnj ⎥ ⎣ ⎦ L’équation en logarithme népérien, après avoir été développée, nous donne la chose suivante : ⎡b1 j ∆LPOSIext t − j + b2 j ∆LIPCindext − j + b3 j ∆LCREAetrant − j + ⎤ ⎥ ⎢ ∆TCindext = a0 + ∑ ai ∆TCindext −i + ∑ ⎢b4 j ∆LRESEchang et − j + b5 j ∆LM 2t − j + b6 j ∆LDETTEext

Table des mati`eres 1 Fonctions num´eriques d’une variable r´eelle 4 1.0 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Fonction num´erique d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Fonctions logarithme, exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Fonctions minor´ees, major´ees

IndLF : C’est le logarithme du PIB réel par habitant. : Le logarithme du taux d’inflation. En effet le taux d’inflation élevé agit négativement sur les taux d’intérêt réels. : Le logarithme du déficit budgétaire par rapport au PIB : Le logarithme du taux de l’investissement calculé par le rapport (FBCF+ S)/PIB : Le logarithme du coefficient d’ouverture commerciale calculé par le rapport (Exportation+Importation)/PIB à l’enseignement secondaire. : Le logarithme du stock du capital

2-1-Tracer la courbe LnN=f(t) en justifiant le choix de l’ordonnée LnN plutôt que N (Échelle : 1,5 cm=1h en abscisse). 2-2-Indiquer, sur cette courbe, les différentes phases de croissance. 2-3-Ecrire la relation existant entre LnNt (logarithme N au temps t) et LnNt+G (logarithme de N au temps t+G, G étant pris en phase exponentielle de croissance). 2-4-Mesurer directement sur la courbe tracée le temps de génération (on prendra Ln2=0,7). 2-5-Calculer le taux de croissance µmax expo (on prendra Ln2=0

Montrer que b xf (x) = a a+b 2 b f (x)dx. a http://www.bibmath.net 1 ´ Exercices - Integration - Niveau 1 : ´nonc´ e e En d´duire la valeur de I = e π x sin x 0 1+cos2 x dx. Exercice 8 - Primitive d’une puissance du logarithme - L1/Math Sup Pour n ≥ 1, donner une primitive de lnn x. Exercice 9 - Int´gration par parties it´r´e - L1/Math Sup e e e 1. Soient f, g : [a, b] → R deux fonctions de classe C n . Montrer que b a n−1 f (n) g = k=0 (−1)k f (n−k−1) (b)g