Logique combinatoire

résultats possibles d’une expérience qui se produit sans remise et dans laquelle l’ordre des évènements n’est pas important est: r k   =  k = k!/r!(k-r)! r     Avec: k nombre total d’éléments et r le nombre de sélections 7 ANALYSE COMBINATOIRE • 3) Permutations: le nombre de permutations de n objets est n! • 4) Arrangements: le nombre de résultats possibles d’une expérience qui se produit sans remise et dans laquelle l’ordre est important est: r  k = k!/(k-r)! 8 OPERATIONS

Pourcentages 1. Part en pourcentage Définition Soit E un ensemble fini (que l'on appellera ensemble de référence) et F une partie de l'ensemble E. La part en pourcentage de F par rapport à E est le nombre : On dit également que F représente t% de E. Remarques * 5%, et 0,05 sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale). * On est en présence d'une situation de proportionnalité que l'on peut représenter par le tableau suivant : t | nombre

restaurant et du pharmacien concurrents 14 Modélisation du problème 15 Mise en équation sur quelques exemples 15 Problème de transport 15 Ordonnancement à contraintes disjonctives 16 Prise en compte de puissance 17 Programmation linéaire combinatoire (entiers) 17 Algorithme du B&B 17 Illustration de l’algorithme 18 Exemple de modélisation : Localisation d’usines 18 Processus aléatoire : chaînes de Markov 19 Généralités 19 Classification des états 20 Comportement asymptotique et distribution

sont incompatibles donc on peut utiliser 3) Un au moins se produit : Comme les événements sont compatibles on utilise le théorème 6 4) Deux au moins se produisent : Comme sont compatibles, on utilise le théorème 6. Rappel sur la combinatoire Deux problèmes : - Nombre de façon différente de tirer p boules distinctes dans une urne qui en contient n - Nombre de façon différente de placer p boules dans n cases. Avec remise Sans remise Avec ordre Arrangement Sans ordre Combinaisons

de Fribourg Département d’informatique Rue Faucigny 2 CH – 1700 Fribourg (Suisse) Mél : marino.widmer@unifr.ch RESUME : Durant ces dernières années, plusieurs métaheuristiques ont prouvé leur efficacité pour la résolution de problèmes combinatoires, ensemble auquel appartiennent plusieurs problèmes industriels. Ce papier se concentre sur la description des trois classes principales de métaheuristiques, à savoir les méthodes constructives, celles dites de recherche locale (comme le recuit

Probabilités et Statistiques Otheman Nouisser Ecole Nationale de Commerce et Gestion Kénitra 20 septembre 2012 Otheman Nouisser ENCG-Kénitra Plan 1. Chapitre I : Analyse Combinatoire. Dénombrement 1. Chapitre II : Calcul des probabilités 2. Chapitre III : Variables Aléatoires 3. Chapitre IV : Lois usuelles de Probabilités Otheman Nouisser ENCG-Kénitra I- Principe multiplicatif III- Arrangement (Sans répétition) IV- Combinaisons (sans répétition) Permutation avec répétition

états du procédé. En fonction des combinaisons prises par les différents états dans le temps, un automate envoie des ordres binaires transmis au procédé par des actionneurs fonctionnant en tout ou rien. Cet automate contient un programme de logique combinatoire ou séquentiel. * La 2ème famille comprend les procédés opérant en continu et qui nécessite des grandeurs et actions progressives dans une certaine plage de fonctionnement. Les capteurs délivrent des mesures qui traduisent la position et

des simulations MC des syst`mes de particules en interaction. e En arrivant aux ann´es 1980, les statisticiens et les informaticiens d´veloppent e e la m´thode de MC pour r´soudre des probl`mes en diff´rents domaine, tel que e e e e l’optimisation combinatoire, probabilit´, analyse de statistique g´n´tique. . . . . . e e e Dans les ann´es 1990, la m´thode de MC commence ` jouer un rˆle tr`s ime e a o e portant dans la computation en science biologique, elle est utilis´e pour l’analyse e 1 g´n´alogique

des indices 2 .2 .Modélisation à l’aide des graphes 2 .2 .1 .Définition d’un cycle 2 .2 .3 .Définition d’un cycle élémentaire 2 .2 .4 .Définition d’un cycle Hamiltonien  2 .3 .Modélisation à l’aide de l’optimisation combinatoire 2 .3 .1 .Définition des variables et des constantes 2 .3 .2 .Contraintes 2 .3 .3 .Fonction objectif  2 .3 .4 .Modèle mathématique  3 .Classification du problème du voyageur de commerce :

syst`me complet e 5.1.5 Axiomatique des Probabilit´s . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.6 Probabilit´s conditionnelles et ind´pendance . . . . . . e e 5.1.7 Th´or`me des probabilit´s totales et th´or`me de Bayes e e e e e 5.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Permutations (sans r´p´tition) . . . . . . . . . . . . . . e e 5.2.3 Permutations avec r´p´tition . . . . . . . . . . .