Loi de Poisson

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé Variables discrètes finies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d’un dé truqué - L2/ECS 1. X prend ses valeurs dans {1, . . . , 6}. Par hypothèse, il existe un réel a tel que P (X = k) = ka. Maintenant, puisque PX est une loi de probabilité, on a : 6 P (X = k) = 1 ⇐⇒ a k=1 6×7 = 1 =⇒ a = 1/21. 2 On a donc : k P (X = k) 1 2 3 4 5 6 1 21 2 21 3 21 4 21 5 21 6 21 On vérifie aisément en

la somme de n VAR de Bernoulli. la somme de n VAR indépendantes de Bernoulli. le produit de n VAR de Bernoulli. la somme de quatre lois uniformes. 14. Soit X une VAR de loi géométrique de paramètre p. Alors IP[X (k − 1)qp. q k−1 p. pk−1 q. p(1 + q + · · · + q k−1 ). 15. Soit X une VAR de loi de Poisson de paramètre λ. Alors IE(X) = λ2 . IE(X) = λ. IE(X) = k] est donnée par 1 . λ2 IE(X) = 1 . λ Fin du QCM Nombre de bonnes réponses: Voir les bonnes réponses

77 77 78 83 83 84 85 87 91 91 92 94 95 95 97 101 101 102 102 104 105 6 Estimation non param´trique de quantit´s r´elles e e e 6.1 Les outils de la statistique non param´trique . . . . e 6.1.1 Statistiques d’ordre et de rang . . . . . . . . 6.1.2 Loi de probabilit´ empirique . . . . . . . . . e 6.2 Estimation de l’esp´rance d’un ´chantillon . . . . . e e 6.2.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . 6.3 Estimation de la variance d’un ´chantillon

Variables aléatoires : X Loi de probabilités : soit p(xi) = P(X = xi) la probabilité que X = xi ∑ P(X = xi) = 1 si X est discrète, la loi de proba : X=xi x1 x2… P(X=xi) P1 P2… 1 f(x) ≥ 0 ∫f(x)dx = 1 sur tt domaine P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx sur [a,b] si X est continue on définit une fonction f(x) de densité telle que : Fonction de répartition pour une v.a discrète : F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(x)dx f(x) = (F(x))’ Propriétés : 0 ≤ F(x) ≤ 1, monotone décroissante, continue à droite. Loi de probabilité simultanée

= (λt + µ)ert o` r est la racine double de l’´quation caract´ristique u e e rt 0, f (t) = [λcos( βt) + µsin( βt)] e o` r1 = α + iβ et r2 α − iβ sont les u complexes conjugu´es de l’´quation caract´ristique e e e 3. PROBABILITES a. Loi binomiale b. Loi de Poisson P(X=k)= k\ λ n! Cn pk qn−k o` Cn = k ! (n-k) ! u k k E(X)= np ; σ(X)= √ npq e−λ λk k! E(X)= λ 0,4 0, 6703 0, 2681 0, 0536 0, 0072 0, 0007 0, 0001 0, 0000 V(X)= λ 0,6 0, 5488 0, 3293 0, 0988 0, 0198 0, 0030 0, 0004

Mémento de statistique 1 Tables de lois de probabilités usuelles Ces tables présentent les principales caractéristiques des lois de probabilité les plus usuelles. Pour chaque loi de probabilité, on donne son nom usuel, son symbole, son support et son espérance. Les lois discrètes sont définies par les probabilités élémentaires et la fonction génératrice, les lois continues par la densité et la fonction caractéristique. Pour les lois unidimensionnelles, on donne la variance, et pour les lois multidimensionnelles

BISKRA FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES Mémoire présenté en vue de l�obtention du Diplôme : MASTER en Mathématiques Option : Statistique Par CHENINI Manal Titre : Loi exponentielle et processus de Poisson homogéne Membres du Comité d�Examen : Dr. BENELMIR Imen UMKB Président Dr. DJABER Ibtissem UMKB Encadreur Dr. OUANOUGHI Yasmina UMKB Examinateur September 2020Dédicace À ma petite famille, chers parents et frères. À chaque personne

Sommaire Liste d’abréviations et des symboles Liste des figures 1 Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2 Processus de Poisson 2.1 Processus de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2 Processus de Poisson homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Processus de Poisson non-homogène . . . . . . . . . . . .. . 10 3 Domaines d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4 La réparation de défaillance . . . . . .

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

La loi de Pascal, ou loi binomiale négative, est une loi de probabilité discrète qui trouve à s’appliquer dans un schéma de Bernouilli. On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter k fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire comportant deux issues, le succès ou l’échec, et où p représente la probabilité de succès. La loi binomiale négative exprime