Loi de probabilité

utilise la table de la loi normale centrée réduite, on trouve P(0 ≤ Z ≤ -0.84) = 0.5 β = P(-0.84 ≤ Z ≤ 4.74) = P(0 ≤ Z ≤ 4.74) - P(0 ≤ Z ≤ -0.84)=0.5-0.2995=0.2005 Le risque d’accepter à tort l’hypothèse nulle µ = 8 alors que la vrai moyenne est 7.8 est seulement de 2 chances sur 100 avec les conditions actuelles du test. Le risque de 2e espèce est plutôt faible. e) Puissance du test = 1- β 1 – 0.2005 = 0.7995 soit pratiquement 80 chances sur 100 Cette probabilité représente la puissance

quotient de ses termes de plus haut degré : Ainsi limx→+∞f(x))= -2x22x3== -28=-1/4 Question 3 : La tangente a pour équation y=f'(1)x-1+f1 On a f(1)=3 et f'x=3*1x-2 f’(1)=1 Ainsi y=x+2 Question 4 : Le gain suit la loi de probabilité suivante : Gain | 7 | -2 | -3 | Probabilité | 16 | 26 | 36 | Son espérance est : 7*16-2*26-3*36=-1 EXERCICE 2 : 1) 2)On a : p(A∩S)=p(A)xpA(S)=0,25x0,9=0,225 3) p(S)=p(A∩S)+p(B∩S)+p(C∩S)=0,225+0,4x0,65+0,35x0,8=0,765 4) On a pS(c )= p(S∩C)p(S)=0,35*0

H1 : U différent de 40 alors le test est unilatéral) On appelle X la variable d’échantillonnage des moyennes des échantillons de taille 10 On considère une variable aléatoire T telle que T= X – 11 La loi de probabilité de T est la loi de Student à t-n-1 degré de liberté. S T Distribution de T Vn-1 Détermination des valeurs critiques valeur de T : P (T>=t) = 0,05 1-P (T<t) = 0,05 -P (T<t)

justification demandée. b) étudiez le sens de variation de la fonction V², et donc dérivez la… Exercice 4 : On notera J l’événement « la réponse données est juste ». On obtient l’arbre ci-dessous : X ∈ {6;3; 0; −3} . En utilisant l’arbre, donnez la loi de probabilité de X. 3 Exercice 5 : exercice du manuel : n°79 p 204 1. MAi MB = ( MO + OA)i( MO + OB ) , développez ce calcul et simplifier (aidez-vous d’une figure pour trouver une relation entre OA et OB ). 2. a) MAi MB = 9 ⇔ MO 2 − OA2 = 9 ⇔ MO 2

économiste, Oskar Morgenstern. Comme le revenu est incertain, les agents, plutôt que de maximiser l’utilité , vont maximiser l’espérance subjective d’utilité en fonction des situations possibles (états de la nature ou événements aléatoires) et de leurs probabilités. S’il y a états de la nature indicés par i, on a : En se fondant sur un certain nombre d’axiomes de comportement de l’individu en incertain (axiomes de continuité, de complétude et d’indépendance), Von Neumann et Morgenstern (1947) définissent

A 2). Quelle est la dimension de CA ? 1 Exercice 2 1 1   2(1 − x ) 2 si x ∈[ 0, 2 [  1  1 On considère la fonction f définie par : f (x) =  2 si x ∈[ , 1[ 2 2 x 0 sinon.   1) Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité. Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P) et admettant la fonction f pour densité. 2) Déterminer la fonction de répartition F de X. 3) Montrer que X a une espérance et que

reproduit le passé On va se munir des cours historiques du marché On suppose que les tendances futures seront identiques paramétrique : Avec m et sigma estimés selon la méthode choisie (cf partie 3) Zq dépend de la loi de probabilité choisie comme modèle Ex : pour une loi normale : Z95% = 1.65 Z99% = 2.33 ESSI - 15/02/2004 Nicolas MARTIN – Josselin TOBELEM 8 3 – Les différentes méthodes A. VaR historique 1/2 Sans tirages Calculer les rendements historiques des composantes du

= . Il faut trouver p G (B) = = 1023 6 = 60 = 23 60 23 46 p G 30 30 3. On a une épreuve de Bernoulli avec n = 4 et p(G) = 2 2 7 . 30 La probabilité de gagner exactement deux fois sur quatre parties est : 4 2 7 30 × 1− 7 30 = 25921 6 × 72 × 232 = ≈ 0, 192(0). 4 30 135000 n 0 4. La probabilité de ne gagner aucune partie sur n jouées est La probabilité d’en gagner au moins une est donc : 1 − Il faut donc trouver n tel que 1 − − ln 100 n ln 23 ⇐⇒ n 30 n 0 n 0 23 30 n 23 30 n 23

triplets diflérents peut-on obtenir ? (On pourra utiliser r_rn arbre.) Calculer la probabilité quc le candidat n'ait fait aucune faute. Moûtrer quc la probabilité que le candidat ait fait une faute et ùne seule, est égale à 0,375. ,1. On note X la variable aléatoire qui à chaque aiplet associe la nole obtenue a l'exercice. a) Déterminer les valeurs prises pâr lâ va able alêatoire X. b) Dorner la ioi de probabilité de la variable aléatoire X. c) Calculer 1'espérance mathématique E(X) de la variable

95 E3 1 0,1 E3 2 E2 0,8 0,05 0,9 E3 1 E1 0,05 0,95 E3 1 E2 0,95 E3 0 (c) Les calculs des probabilités de (X = 2) et (X = 3) sont : P (X = 2) = 0,2 × 0,1 × 0,9 + 0,2 × 0,9 × 0,05 + 0,8 × 0,05 × 0,1 P (X = 3) = 0,2 × 0,1 × 0,1 (d) Sans détailler les calculs de P (X = 0) et P (X = 1), on obtient la loi de probabilité de X : X P (e) L’espérance de X est : 3 0 0,722 1 0,245 2 0,031 3 0,002 E (X) = k=0 k × P (X = k) = 0 × 0,722 + 1 × 0