Loi normale multidimensionnelle

Rappels de probabilité C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Vecteurs aléatoires gaussiens . . . . . . . . C.3 Tables des lois usuelles . . . . . . . . . . . C.3.1 Loi Normale X ∼ N (0, 1) . . . . . C.3.2 Loi de Student X ∼ Tν . . . . . . . C.3.3 Loi du Khi-deux à ν ddl X ∼ χ2 . ν ν1 C.3.4 Loi de Fisher à ν1 , ν2 ddl X ∼ Fν2 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0

069 Percentiles 25 31,00 12,00 17,00 50 47,00 14,00 20,00 75 62,00 17,00 23,00 COMMENTAIRES : Nous remarquons que la médiane(deuxième quartile) est du même ordre de grandeur que la moyenne on peut dire que probablement la distribution est normale autour de la moyenne. Il suffit aussi de voir si les données sont symétriques pour aller dans le même sens ou pas dans les présomptions de normalité. Dans ce cas le coefficient de symétrie de Skewness Skewness ,091 ,004 -,645 Pour l’âge,

G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.2.1 Variable al´atoire discr`te . . . . . . . . . . . e e 3.2.2 Loi d’une variable al´atoire discr`te . . . . . . e e 3.2.3 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Lois discr`tes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´els . . e 3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hyperg´om´triques

cours d’un intervalle de temps fini a une distribution normale dont la variance augment avec la langueur de l’intervalle Soit z une variable qui suit un mouvement brownien simple. Soit ∆z l’accroissement de z pendant un petit intervalle de temps ∆t. ∆z a deux propriétés : 1. ∆z = ԑ ∆t L’accroissement dépend donc de la racine carrée de l’intervalle pendant lequel il se produit. ԑ est une variable aléatoire qui a une distribution normale centrée réduite, c'est-à-dire que : * Son espérance

histogrammes avec une loi Normale. On superpose la densité d’une loi Normale et on conclut visuellement si l’on peut accepter l’hypothèse de normalité. #On affiche les 2 graphiques cote à cote par(mfrow=c(1,2)); #On crée la densité de la loi normale comme indiqué dans l’énoncé pour les log rentabilités #journalières et mensuelles x=seq(-4,4,length=1000) y1=dnorm(x, mean(logD), sd(logD)) y2=dnorm(x, mean(logM), sd(logM)) #On crée les 2 histogrammes et on superpose les graphiques des lois normales hist(logD,col="blue"

AVERAGEA BETA.INVERSE Anglais AVERAGEA BETAINV Fonctions Calcule la moyenne de ses arguments, y compris les nombres, le texte et les valeurs logiques Renvoie l'inverse de la fonction de densité de distribution de la probabilité suivant une loi Bêta cumulée Renvoie le kième centile des valeurs d'une plage Renvoie une valeur normalisée Renvoie la dissymétrie d'une distribution Renvoie le coefficient de corrélation entre deux ensembles de données Renvoie le carré du coefficient de corrélation

iHH«"FJI STATISTIQUE DESCRIPTIVE STATISTIQUE DESCRIPTIVE . Aplatissement fort 2 v=?,fl{xl--ï)i=21tâ-\'Lf* \ i -\2 i v On appelle écart-type ou écart quadratique le nombre réel Aplatissement : moyen ""-{ Distribution normale) Aplatissement faible Moment d'ordre n (neN) : mtt = Y,fixi i Moment centré d'ordre n ' ' ' Fig. 1.6 II. SERIES STATISTIQUES A DEUX 1- Tableaux statistiques . a) Lorsqu'il n'y a qu'une observation pour couple (x t ,y t ) on décrit la

ESTIMATEURS, INTERVALLES DE ` CONFIANCE ET TESTS D’HYPOTHESES Paul Lescot 05 Mai 2009 1.Estimateurs ˆ Soit θ un param`tre (ou une fonction des param`tres) de la loi d’une variable e e al´atoire X (par exemple l’esp´rance ou la variance), et soit alors X1 ,...,Xn ,... une e e suite de variables al´atoires ind´pendantes et chacune de mˆme loi que X. On e e e ˆa cherche ` estimer θ ` partir d’un ´chantillon empirique. On appelle estimateur de a e ˆ θ une fonction θn = gn (X1 , ..., Xn ) des n premi`res

s’int´resse au nombre de trains par heure circulant sur cette ligne. e Soit Xi le nombre de trains passant pendant la i-`me heure dans la gare Nanterre-Universit´ e e (i = 1 . . . n). On suppose que les Xi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi de e e Poisson de param`tre λ i.e. ∀x ∈ N, e P (Xi = x) = e−λ λx x! On rappelle que si X ∼ P(λ) alors E[X] = λ et V [X] = λ. On note x1 , . . . , xn les observations obtenues par l’association d’usagers. 1. Montrer que la vraisemblance des observations