Mesure de Lebesgue

de J, la fonction est continue sur I. Alors la fonction F définie sur I par est continue sur I. |   Le théorème précédent est énoncé dans un cadre peu général. On peut remplacer continue par morceaux par mesurable, remplacer la mesure de Lebesgue par toute autre mesure positive.... Il est en revanche important de noter que la fonction notée g qui majore ne dépend pas de x. On a besoin d'une telle fonction car ce théorème est une conséquence facile du théorème de convergence dominée. Dérivabilité

fonctions mesurables de X dans R+ . Montrer que f +g est mesurable. Montrer que f · g d´fini en adoptant la convention 0 · ∞ = 0 est mesurable. e Corrig´. cf. la remarque 1.3.4 dans les notes de cours. e Exercice 2.7. Soit (X, M, µ) un espace mesur´ o` µ est une mesure positive, et (An )n∈N une suite de e u M. Montrer que µ(∪N An ) ≤ N µ(An ). Montrer que µ(A1 ∪ A2 ) + µ(A1 ∩ A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 ), et g´n´raliser cette formule aux cas faisant intervenir un nombre fini d’ensembles e e A1 , . . . , An .

C'est à Abraham de Moivre qu'est attribuée la découverte du concept de mesure de la dispersion qui apparaît dans son ouvrage The Doctrine of Chances en 1718b 1. Mais le terme d'écart type (« standard deviation ») a été employé pour la première fois par Karl Pearson en 1893 devant la « London Royal Society »b 2. C'est aussi Karl Pearson qui utilisa pour la première fois le symbole pour représenter l'écart typeb 2. En 1908, William Gosset, plus connu sous le pseudonyme de Student, définit l'écart

exercices. e e e 79 99 e CHAPITRE 10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Int´grale des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e e Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur la droite. Mesure de probabilit´ induite par une fonction de r´partition. Mesures de e e n e e e Stieltjes-Lebesgue sur R . Variables al´atoires r´elles. Int´grale d’une variable al´atoire r´elle par rapport a une mesure. Exemples. e e ` Propri´t´s de l’int´grale.

domaines de la TN, mais aussi qui permet d’obtenir (facilement cette fois) une estimation intuitive de la difficulté d’un problème. Par exemple, pour ceux qui connaissent la notion, la difficulté d’une équation diophantienne donnée par une courbe se mesure à son genre : en genre supérieur ou égal à 2 le problème est très difficile voire infaisable, en genre 1 on peut espérer résoudre le problème (sans garantie), en genre 0 le problème est facile et même algorithmique. 6 Problèmes Diophantiens

notions n'est clairement précisée. Il faudra plus d'un siècle pour éclaircir la plupart des questions relatives aux séries trigonométriques, avec la notion de fonction développée par Dirichlet (1829), et celle d'intégrale par Riemann (1854) puis par Lebesgue (1902). Signalons enfin que c'est en réfléchissant sur un problème d'unicité des séries trigonométriques que Cantor développa sa théorie des ensembles . Les formules de Fourier entrent dans un cadre beaucoup plus général, celui de l'analyse ou de

4[,. . . Si Exercice 1 Exercice 2 1. réels (ou dans un quelconque anneau commutatif ) et n ∈ N, la n n k formule du binôme de Newton s'écrit (x + y) = Cn xk y n−k . k=0 Pour vérier que P (X = k) = ak (où k ∈ N et ak ∈ R) dénit bien une mesure ∞ de probabilités sur N, il faut vérier ak ≥ 0 et k=0 ak = 1. Pour la loi binomiale de Pour x, y 2. du binôme : et p, la positivité est évidente, et la seconde condition résulte de la formule n n−k k k = (p + 1 − p)n = 1. k=0 Cn p (1

les information suivantes : nombre d’arêtes, de voisins et l’état des voisins. Pour décrire l’état du système, il est nécessaire de connaitre l’état de chaque individu, ainsi que ses connections. Pour l’ensembles St des susceptibles, la mesure (somme de mesures de Dirac) : µSt = (2.1) δd x x∈St décrit la répartition des degrés des susceptibles. Pour ce qui est des infectés It , et des rétablis Rt on va décrire l’état des arêtes reliant un infecté (resp. rétabli) à un susceptible dans St . Ces

Table des mati`res e 1 Mesures 1.1 Tribus . . . . . . . . 1.2 Fonctions mesurables 1.3 Classe monotone . . 1.4 Mesures . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 . . . . . 4 4 5 6 6 7 . . . . 8 8 9 9 11 4 Ind´pendance e 4.1 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Vecteurs Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 14 5 Convergence de suites de variables al´atoires

Rappels 3.1 Variable aléatoire On rappelle qu'un espace probabilisé (Ω, A, IP) se compose d'un ensemble Ω, d'un ensemble A (appelé tribu) de parties de Ω appelées événements, stable par intersection, union innie et complémentarité et d'une mesure positive IP de masse 1. où B est la tribu de IR engendrée par les intervalles ouverts. Une fonction f est dite mesurable si toute image réciproque par f d'une partie de IR appartenant à B appartient à A. Dénition 1. Une variable aléatoire réelle