Mesure de Lebesgue

)/lambda; 3. Méthode du rejet Il y en a plusieurs versions. La plus simple consiste à donner une méthode pour simuler des points suivant une distribution uniforme sur un borélien de R2 de mesure finie. 3. Méthode du rejet 3 Théorème 2. Méthode du rejet 1 Soient B ⊂ A deux boréliens de R2 de mesure de Lebesgue finies 0 < λ(B) ≤ λ(A). Soit (Xn ) une suite de vecteurs aléatoires indépendants de loi uniforme sur A. On définit pour tout entier n Yn = 1B (Xn ). Alors – La suite (Yn ) est une

: Lemme 3.8. Soit 1 ≤ p < +∞ et soit f ∈ Lp positive. Alors il existe une famille de réels (ck )k∈Z , une famille de fonctions mesurables (fk )k∈Z et une constante C > 0 tels que 1. f = ck fk , k∈Z 2. µ(Supp fk ) ≤ 2k+1 , où µ est la mesure de Lebesgue de Rd , k 3. fk L∞ ≤ 2− p , cp ≤ C f p p . 4. L k k∈Z Démonstration du lemme. D'après l'inégalité de Markov (voir la section 2.5), on a q µ({|f | ≥ λ}) ≤ On peut donc dénir, pour tout k ∈ Z, On pose également et fk = f Lq . λq

ruine e 16 Mesures de risque ´tudi´es en th´orie de la ruine e e e 65 66 17 Probl`mes de r´assurance et d’investissements optimaux, contrˆle e e o stochastique 67 18 Processus de L´vy, r´sultats connus sur les temps d’atteinte et e e les extrema 68 19 Versement de dividendes jusqu’` la ruine a 20 Mod`les fluides et lien avec les files d’attente e 69 70 IV Mesures de risque 71 72 73 74 75 76 77 77 77 77 77 79 79 21 Typologie moderne des risques 22 Introduction 23 Mesures de risque

est la vraisemblance de l’observation Y conditionnellement à la vérité cachée X et P (X) est la probabilité a priori sur X . On peut ensuite définir P (X,Y) avec ou sans l’aide d’une modélisation markovienne. L’idée derrière l’implémentation de la mesure floue a été introduite par [8] et est basée sur l’incorporation d’un nombre fini de niveaux de flou Fi en combinaison avec deux classes « dures » homogènes, contrairement au modèle standard où seul un nombre fini de classes « dures » est considéré

probabilit´e . . . . . . . . . A.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . A.3 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . A.4 Quelques in´egalit´es utiles . . . . . . A.5 Mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . A.6 Moments d’ordre p, espaces Lp et Lp A.7 Variance, covariance . . . . . . . . . A.8 Ind´ependance. Mesures produits . . A.9 Fonction caract´eristique . . . . . . . A.10 Fonction g´en´eratrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

partie finie {i1 , i2 , · · · , in } de I tel que E = Ui1 ∪ · · · ∪ Uin . Nous dirons ´egalement qu’il est possible d’extraire de tout recouvrement de E par des ouverts un recouvrement fini. Il est alors dit que E v´erifie la propri´ et´ e de Borel-Lebesgue. D´ efinition 3.14 Une partie A d’un espace topologique (E, τE ) est compacte si (A, τA ) est un espace compact. Autrement dit, pour tous x, y ∈ A, il existe des ouverts Ux , Uy de E tels que x ∈ Ux , y ∈ Uy , Ux ∩ Uy ∩ A = ∅ et pour tout recouvrement

nécessaires. Le cours a principalement porté sur l’étude des espaces H2 , H∞ , H1 , et N pour le disque unité et le demi-plan : rappels sur les notions de base de la théorie des séries de Fourier, de la théorie de l’intégration et de la théorie de la mesure, intégrales de Poisson, théorèmes de Herglotz, de Fatou, de Szëgo-Riesz « log |f | ∈ L1 », des frères Riesz, factorisation de Smirnov-Nevanlinna, théorie de Beurling-Lax des espaces invariants pour le décalage discret ou continu, théorèmes de Szëgo-Kolmogorov-Krein

généraliser les fonctions analy- tiques. On s’intéresse d’abord aux fonctions sinx, cosx et ex, car elles apportent chacune des caractéristiques essentielles qu’on souhaite utilisées dans la théorie en construc- tion. De toute évidence, on souhaite être en mesure d’obtenir les fonctions classiques lorsqu’on pose f(x) = 1 ∀x ∈ R. Commençons par définir la fonction exponentielle généralisée. Définition 3.5. On appelle l’exponentielle généralisée, les deux fonctions sy- métriques suivantes : E(x) := ∞∑ k=0 ψ(k)(x)

en et plus ou moins haute selon . 3) Le théorème central limite Théorème : Si sont n variables aléatoires indépendantes ayant respectivement comme moyenne et comme variance et soit la combinaison linéaire alors : et A mesure que n tend vers l’infini, approche la loi normale centrée réduite. Un cas particulier est celui où les variables aléatoires suivent la même loi de probabilité et dont la moyenne et existent et sont finies. Soit . Alors, pour ,

suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, la loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des mesures d'erreurs ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale. Sommaire 1 Définition et explications informelles 2 Histoire 3 Loi normale centrée réduite 3.1 Définition par la fonction de densité