Mesure de Lebesgue

scientifiques ont des chances de croiser à nouveau cette fonction f à cause de l’intégrale de Lebesgue qui est actuellement étudiée après le bac beaucoup plus couramment qu’elle ne l’a été : cette fonction f est en effet probablement l’exemple le plus simple de fonction Lebesgue-intégrable mais non intégrable au sens de Riemann. Sur l'intervalle d'intégration J = [a ;b], Riemann (à droite) subdivise J alors que Lebesgue (à gauche) subdivise f (J). (images et texte tirées du site Chronomath.com) f n’est

théorie des probabilités, et statistique. Il y a de la fluctuation ou de la variabilité dans presque toute valeur qui peut être mesurée dans une population (p.e. la taille des individus, la durabilité d'une pièce de métal, etc ...) ; presque toutes les mesures ont une part d'erreur intrinsèque ; en physique de nombreux processus ont une description probabiliste, de la théorie cinétique des gaz à la description quantique des particules élémentaires. Pour ces raisons en particulier, et pour beaucoup d'autres

adversaires d’une théorie des ensembles encore informelle, sous la pression in- quiétante des paradoxes et la question alors brûlante de la légitimité de l’axiome du choix. Les jeunes loups de ce début de vingtième siècle s’appellent Borel, Lebesgue et Baire. Revenons quelques années en arrière pour explorer leur biographie. émile Borel, né en 1871, est l’âıné. Fils de pasteur, il a parcouru la carrière sco- laire éblouissante d’un enfant prodige, constamment premier. En 1897, trois

Introduction au calcul des probabilités 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire . . . . . . . . 1.1.1 Un exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mesures et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . 1.2 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

th´or`me de Krull, le th´or`me de la base e e e e e incompl`te, l’existence de la clˆture alg´brique d’un corps, que tout sous-groupe e o e d’un groupe libre est libre, qu’une r´union d´nombrable de sous-ensembles de e e r´els n´gligeables pour la mesure de Lebesgue est n´gligeable,etc. En fait, c’est e e e mˆme pire que ca: pour chacun des exemples que je viens de donner, on peut e montrer qu’ils sont ind´pendants des axiomes de Zermelo-Fraenkel. C’est ` dire e a que sans l’axiome du choix, on peut construire

segment de parabole par Archimède. B Quadrature du segment de parabole selon B. PASCAL. I (COURS) Démonstration par la méthode des « indivisibles » II ( TRAVAUX PRATIQUES)Actualisation du procédé : méthode des rectangles. C Notion d'aire par H. LEBESGUE. I( ACTIVITE) Notion d’aire sur un quadrillage. II DEFINITION par H.LEBESGUE Application à l’aire du rectangle , du triangle, du polygone : III CONDITION POUR QU’UN DOMAINE AIT UNE AIRE(TRAVAUX PRATIQUES) 1°)Application à l’aire du segment

´ ´ Td1 d’integration et probabilites ´ Espaces mesures Exercice 1 : lim inf et lim sup de suites d’ensembles mesurables. 1. Question pr´liminaire. Soit (an )n≥0 une suite de r´els. On d´finit les deux nombres suivants e e e dans R : lim sup an = lim sup ak et lim inf an = lim inf ak . n→∞ n→∞ k≥n n→∞ n→∞ k≥n (a) V´rifier que ces deux d´finitions ont bien un sens. e e (b) V´rifier les assertions suivantes : e • lim sup an < α ⇒ ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α. n→∞ • ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α ⇒ lim sup

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 7 12 16 16 18 19 19 23 27 28 30 31 31 31 32 33 34 34 37 39 39 41 41 1 Rappels de probabilités 1.1 Rappels sur la théorie de la mesure . . . . . . . . . 1.1.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Intégration de Lebesgue . . . . . . . . . . . 1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance

surfaces. On note dx la mesure e e de Lebesgue dans Rn . On dit qu’une fonction mesurable f d’un ouvert Ω de Rn ` valeurs dans C est int´grable si et seulement si a e |f (x)|dx < +∞. Ω Si S est une hypersurface de classe C 1 (voir le paragraphe suivant pour la d´finition pr´cise), on appellera dσ la mesure de surface euclidienne sur S. e e Pour les lecteurs int´ress´s, la d´finition d’une telle mesure est donn´e en e e e e annexe ` la fin du chapitre. On note dσn la mesure de surface sur Sn . En

une mesure ext´rieure sur l’ensemble des parties de R. Posons e e I = {]a, b[|a ≤ b ∈ R} 12 et d´signons par p la fonction d´finie sur I par e e p(]a, b]) = F (b) − F (a). D´finissons enfin la mesure ext´rieure1 suivante : e e ∞ ∞ µ(A) = inf n=1 p(An )|An ∈ I, A ⊆ n=1 An . On dit que que la mesure de Borel-Stieljes associ´e a F est la restriction de la e ` mesure ext´rieure µ d´finie ci-dessus a l’ensemble des parties mesurables de e e ` mesure finie. La mesure de Lebesgues sur Rest