Nombre réel

Cours d’analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 2 3 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . .

Dérivation I- Nombre dérivé, tangente On note une fonction numérique définie sur un intervalle de ℝ a est un réel de . 1) Définition : Soit ℎ un nombre réel non nul tel que + ℎ ∈ . • On appelle taux d’accroissement de entre et + ℎ le rapport ℎ = • • On dit que la fonction est dérivable en lorsque le taux d’accroissement ℎ devient aussi proche que l’on veut d’un nombre réel lorsque ℎ tend vers 0 Le nombre est appelé nombre dérivé de en a et on note : = = lim ↦ ℎ 2) Détermination

décroissante . 4. Soit le quotient A. Q B. Q C. Q est une fonction homographique. 5. On considère la fonction h définie pour tout réel x par A. L’image de par h est égale à 8. B. L’image de par h est C. Cette fonction admet un maximum qui vaut atteint en 1. D. Cette fonction admet un maximum qui vaut 1 atteint en . : défini pour tout réel différent de -1. est négatif pour tout réel de [-1 ; 2] Page 1 sur 11 | Lycée Saint-Charles, Athis-Mons Révisions obligatoires – Mathématiques – Seconde à première

associer à chaque réel x de I un réel et UN SEUL, appelé image de x. On note f : x → f (x ) , f (x ) est l’image de x par la fonction f. Exemples 3 1 i. Soit f : x → . Quel(s) réel(s) associe-t-on respectivement à -1, -2, , 0 ? x 2 1 3 2 A -1, on associe -1. A -2, on associe − . A , on associe . 2 2 3 1 Le nombre n’existe pas. 0 Pour tout réel différent de 0, on associe un et un seul réel. On dit que f est une fonction définie sur ]− ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[ . ii. A chaque réel x, on associe

et de fonctions 1 Limite de suites 1.1 limite infinie Définition : 1. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers +∞ ou encore qu’elle diverge vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[ (λ ∈ R) contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un certain rang n0 . On note alors lim un = +∞. n→+∞ 2. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers −∞ ou encore qu’elle diverge vers −∞ si et seulement si la suite

Propriétés : • Soient a, b, c, d et k des nombres (réels IR) quelconques • k x (a -b)=k x a - k x b (simple distributivité) • (a + b) x (c + d) = a x c +a x d +b x c+ b x d (double distributivité) 2. Les identités remarquables : Propriétés : Soient a et b sont deux nombres (réels IR) quelconques. A. Carré d'une somme (a + b)² = a² + 2ab + b² B. Carré d'une différence (a - b)² = a² - 2ab + b² C. Produit d'une somme de deux nombres par leur différence (a + b) (a - b) = a² -

télévisionLa télévision est l'un des médias ayant le plus d'influence dans la vie des enfants. Ils la regardent en moyenne près de 15heures par semaine. (Statistique Canada, 2001.) L'influence de la télé sur les enfants dépend de plusieurs facteurs: le nombre d'heures passées devant le petit écran, leur âge, leur personnalité, le fait de regarder la télé seuls ou avec des adultes et enfin les discussions qu'ils auront ou non avec leurs parents sur le contenu visionné. Afin de minimiser les effets potentiellement

Dérivées en Première ES Dérivées Savoir-faire : Calculer un nombre dérivé à partir de la définition Lire graphiquement un nombre dérivé Tracer une tangente à la courbe représentative d'une fonction connaissant le nombre dérivé Déterminer l'équation de la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction Calculer une dérivée à partir des formules de dérivation «usuelles» Déterminer le sens de variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée I - Nombre dérivé Définition Soit  f  une fonction définie sur un intervalle 

admet au moins une solution dans [ 0 ; [pic]] donc ... Comment déterminer le nombre de solution(s) d’une équation du type f(x) = k ? Méthode Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ou théorème de la bijection permet de prouver l’existence d’une solution unique à une équation du type f(x) = k sur un intervalle donné . Pour déterminer le nombre de solution(s) d’une telle équation, on doit appliquer une ou

droite (d) a une équation de la forme avec ( ; ) (0 ; 0). Un vecteur directeur de (d) est Remarque : Une droite En effet, si non nul, (- ; ) (d) admet une infinité d’équations cartésiennes est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel est une autre équation de la même droite. 2) Propriété réciproque L’ensemble des points M ( ) vérifiant l’équation : ( ; ) (0 ; 0) est une droite de vecteur directeur ( - ; ) avec Démonstration : Soit (d) une droite, A( Soit M ( ; , un point de