Nombre réel

d’une enquête réalisée en 2010 auprès des conseils généraux ont permis de construire le tableau suivant : Nombre de personnes en GIR1 (en milliers) Nombre de personnes en GIR2 (en milliers) Nombre de personnes en GIR3 (en milliers) Nombre de personnes en GIR4 (en milliers) Total (en milliers) Nombre de personnes bénéficiant de l’APA à domicile (en milliers) Nombre de personnes bénéficiant de l’APA en établissement (en milliers) Total (en milliers) 19 86 105

récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites. Limite finie ou infinie d’une suite.  Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante (un) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A. Pour exprimer que un tend vers l quand n tend vers + , on dit que : « tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs un à partir d’un certain

fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a , b[ (resp. ]a , b]), b pouvant être +& (resp. a pouvant être -&), et qui ne sont pas nécessairement bornées. On considérera ensuite les fonctions définies seulement sur des intervalles ouverts ]a , b[ , éventuellement non bornés. Exemples : 1 xn sur ]0 , 1] ou sur [1 , +&[ , ˘n x sur ]0 , 1] ou 1 sur ]0 , 1[ … x(1 - x)   Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront à valeurs réelles ou complexes, le cas des

1 3 − vn . 1 − vn E XERCICE N°2 1. Restitution Organisée de Connaissances (5 points) a) Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle [a ; + ∞[. Compléter la phrase suivante : « Dire que f admet une limite finie en +∞ signifie . . . » b) Démontrer le théorème des gendarmes : « Si f , g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle [a ; +∞[ et un nombre réel tels que les fonctions g et h aient pour limite commune quand x tend vers +∞, et que pour tout x ∈ [a ; +∞[, g (x) f (x)

SECOND DEGRE ET PARAMETRES 1 C Soit l’équation yx² - 2yx – 2x + y + 3 = 0. Résoudre dans R cette équation : a) b) d’inconnue x où y est un paramètre réel d’inconnue y ou x est un paramètre réel. 2 C 3C Déterminer m pour que l’équation : mx² - 2(m – 1) x + 3m + 2 = 0 admette 1 pour racine. Déterminer l’autre racine m est un réel différent de 2. On considère l’équation d’inconnue x : (m – 2) x² + 5x + 7 – m = 0 a) Démontrer que, quel que soit m, - 1 est racine de cette équation. b) Déterminer

Continuité et Limites ............................................................................ 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation d’une tangente à une courbe 13 IV. Dérivation et Valeur Intermédiaire 14 Chapitre III : Calcul intégral.............................................................

 Mathématique : Théorie. Algèbre. Chapitre 7 : Calcule de limite. Une fonction réelle f est continue en x=a si lim f(x) = f(x). Une fonction réelle f est discontinue en x=a si elle n'est pas continue en x=a Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels elle est continue. On le note dom f . Chapitre 8 : Les asymptotes. Une asymptote à une branche infinie de courbe est une droite telle que la distance d'un

l’équation ln y = x, où x est un réel quelconque, admet une unique solution y appartenant à ]0; +∞[. Ce réel y, l’antécédent de x par la fonction logarithme népérien, sera noté exp x et la fonction qui à x ∈ R associe le nombre exp x est appelée fonction exponentielle. Définition 6.1. Pour tout réel x, on appelle exponentielle de x, et on note exp x, l’unique réel de ]0; +∞[ dont le logarithme népérien est x. On a ainsi : exp : R −→ ]0; +∞[ x −→ exp x, où exp x est le nombre tel que ln(exp x) = x Par définition

L'hérédité est vérifiée (voir plus haut). On en déduit que tous les dominos tombent. Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile. Exemple mathématique : Soit un nombre réel a strictement positif. Démontrons que pour tout entier naturel n, on a : . Cette propriété porte le nom d'inégalité de Bernoulli. - La propriété est vraie pour n = 0 (Initialisation). En effet, et  Le premier domino tombe. - Supposons qu'il

séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette notation étant justifiée par les considérations précédentes. En cas de divergence, on a un = +∞. 26.2 Les séries de Riemann Théorème 26.2 Soit α un réel. La série de Riemann si α > 1. 1 est convergente si, et seulement nα Démonstration. Pour α ≤ 1, on utilise le fait que si la suite (Sn )n∈N converge alors lim (S2n − Sn ) = 0 et pour α > 1, on montre que la suite croissante (Sn )n∈N est majorée