Nombre réel

180 µ( AOB) = µ( AOC) + µ( COB) µ est surjective. ⇔ [AOC] et [COB] sont adjacents. Remarques 1.2 1. Attention à ne pas confondre : • µ, qui est une application, appelée mesure en degrés, • µ( α), qui est la mesure de l'angle α, donc est un nombre réel. Par exemple, µ( ω) = 0◦ et µ( p) = 180◦ . 2. Dans la pratique, on identie souvent (par abus) un angle à sa mesure. ABC Trigonométrie - Chapitre 1 1.2 Page 3 Angles orientés On aimerait dénir une orientation pour les angles. Pour cela,

Brevet de technicien supérieur novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie Exercice 1 12 points π On désigne par α un nombre réel positif tel que 0 < α < . 2 On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 2π, telle que :   f (t ) f (t )  f (t ) = = = 1 0 −1 si si si 0 t α α < t < π−α π−α t π 1. Dans cette question, le nombre réel α vaut π . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 2π]. +∞ n=1

cicontre. →−ı 1 2 −→ O 1 Partie A 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. (On pourra écrire, pour x différent de 0 : f (x) = 1 x × x2 ex2 ). b. Démontrer que f admet un maximum en p2 2 et calculer cemaximum. 2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a. Quelle est la limite de F(a) quand a tend vers

périmètres, obtenues, pour l’une, par des polygones réguliers inscrits et, pour l’autre, par des polygones réguliers circonscrits, dont il fait croître le nombre de côtés. Il obtient ainsi l’encadrement suivant : 3+ 10 1 0, ce qui entraîne que − Ce nombre est appelé la limite de la suite, ce que l’on note n→+∞ Preuve. Soit ε > 0 un nombre réel strictement positif. Par définition, il existe N ∈ N et = 0. n lim un = . 597 |un − 0| = un ≤ 1/n ≤ 1/N < ε ce qui montre la convergence de

La notion de fractale Plan de l'exposé . Introduction Problématique : Dans quelle mesure la notion de fractale a-t-elle une implication réelle dans le monde qui nous entoure ? I/ Les propriétés des fractales II/ Les fractales dans la nature, un exemple : le flocon de neige III/ Les fractales dans le corps humain . Conclusion   Introduction . Définition de fractale : (latin fractus , brisé ) Les objets fractals se différencient des figures simples par le fait

comme par exemple les valeurs du premier terme (u1), du terme courant (ui) et du terme précédent (ui-1) : on n'introduira pas l'équivalent d'une variable simple par terme, mais seulement une variable par terme nécessaire selon le problème posé. Le nombre total (n) des termes peut être a priori connu ou non. De telles suites peuvent être convergentes ou divergentes. On étudiera essentiellement: - le calcul d'un terme particulier, en général avec une formule récurrente du type ui f(uj uk), j, k < i

PREMIERE ES Mercredi 2 mars 2011 NOM : Nombre de copies : DEVOIR TRIMESTRIEL DE MATHEMATIQUES Calculatrice autorisée Durée 3 h Suites : /20 Fonctions : /40 1 Suites (20 points) Partie A – Etude d'une suite On considère la suite ( Un) définie par U0 = 900 et, pour tout entier naturel n : Un+1 = 0,6 Un+200 1. Calculer U1 et U2. Cette suite est-elle d’une nature connue ? 2. On considère la suite ( Vn) définie, pour tout entier naturel n, par : Vn = Un – 500 a)

s’agit de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour l’agrandir ou le rétrécir). Mais on peut aussi additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le but est d’obtenir des théorèmes généraux qui s’appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l’espace, aux espaces de fonctions, aux

croissante et positive sur [ 0;+∞[ , alors lim f ( x) = +∞ x →+∞ 2) Si une fonction f a pour limite 0 en +∞ , alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe 3) Si une fonction f a pour limite -1 en +∞ , alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe Exercice n°5. f est une fonction numérique dont l'expression est f ( x) = ax + Déterminer a et b sachant que lim f ( x) = +∞ et lim f ( x)

(-x). Cette fonction est dérivable sur
, sa dérivée est h' (x) = f '(x) × f (-x) + f(x) × f '(-x) × (-1); comme f '(x) = f (x) et f '(-x) = f (-x), on trouve h'(x) = 0. La fonction h est donc constante, et pour tout réel x, h(x) = h(0) = f (0) × f (0) = 1. Ainsi, pour tout réel x, f (x).f (-x) = 1, ce qui montre que f (x) ne peut pas être égal à 0. b) Il n'existe qu'une seule fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1. Démonstration Supposons que f1 et f2 soient deux fonctions