Permutation

Statistiques Tome 1 Mathieu Gentes Année / IUT d’Orsay - Département Mesures Physiques Table des matières I Calcul des probabilités 1 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Permutations sans répétition 1.1.2 Permutations avec répétitions 1.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Arrangements sans répétition 1.2.2 Arrangements avec répétitions 1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . 2 Espace fondamental

nul. On la note n! n! = n.(n-1).(n-2)……………….. .1 0! = 1  B. Permutations 1. Permutation simple : Une permutation simple de n objets distincts est une suite ordonnée de ces n objets. Le nombre de permutations possibles de ces n objets distincts est noté Pn : 2. Permutation avec répétition : On appelle permutation avec répétition de n objets non nécessairement distincts, toute liste ordonnée de ces n objets. Le nombre de permutation de ces n objets dont l’un est répété i fois, un autre j fois,

possible d’un tirage de 4 boules successivement et sans remise d’une urnes contenant 6 boules et un arrangement de 4 éléments parmi 6 . 7/Notion de permutation  Définition  Soit E un ensemble de cardinal [pic], on appelle permutation de E tout arrangement de tous les éléments de E . Théorème |Soit [pic], le nombre de permutation des éléments de E de cardinal n est égal à [pic] | 8/Notion de combinaison  Définition 

formules de permutations, d’arrangements et de combinaisons possède d'importantes applications dans de nombreuses branches des mathématiques, comme par exemple le calcul des probabilités et des statistiques, où elles peuvent servir à compter le nombre de cas favorables et/ou possibles des événements d’une expérience aléatoire. Soient deux éléments a et b : Si (a , b)  (b , a), on parle de disposition ordonnée. Si (a , b)  (b , a), on parle de disposition non ordonnée. 1.1. PERMUTATIONS. Une permutation

exercices pos´s dans ce polycopi´ e e ne sont pas r´dig´es. e e October 3, 2003 2 Contents 1 Pr´requis e D´nombrements e Th´orie des ensembles e 1.1 D´nombrement. Analyse combinatoire . e 1.1.1 Principe multiplicatif . . . . . . . 1.1.2 Permutations sans r´p´titions . . e e 1.1.3 Les arrangements sans r´p´tition e e 1.1.4 Combinaisons sans r´p´titions . . e e 1.2 Th´orie sommaire des ensembles . . . . . e 1.2.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . .

aussi : ⁄ Cette définition de la probabilité conditionnelle permet de définir deux évènements indépendants. Deux évènements A et B seront considérés comme indépendants si et seulement si : Chapitre : Probabilités I 5 3. Dénombrement 3.1. Permutation Dans certaines situations, on a besoin de dénombrer le nombre de possibilités que l’on a de disposer éléments dans un ordre donné. Ce nombre est factorielle . Il est défini comme : Avec : Ainsi : par convention. 3.2. Combinaison 3.2.1

Pour les dernières lettres (dans le cas d'un décalage à droite), on reprend au début. Par exemple avec un décalage de 3 vers la droite, A est remplacé par D, B devient E, et ainsi jusqu'à W qui devient Z, puis X devient A etc. Il s'agit d'une permutation circulaire de l'alphabet. La longueur du décalage, 3 dans l'exemple évoqué, constitue la clé du chiffrement qu'il suffit de transmettre au destinataire (s'il sait déjà qu'il s'agit d'un chiffrement de César) pour que celui-ci puisse déchiffrer

Positionner un mot probable dans le texte permet de retrouver une portion de l'alphabet, ce qui peut s'avérer utile pour continuer. Vous devez respecter la ponctuation et les espaces. Par exemple si vous penser que "DCODE" est compris à la fin d'une phrase, essayez " DCODE." (un espace avant et un point après). Ceci n'est valable que si votre texte est ponctué. Si ce n'est pas le cas, vérifiez bien que votre mot comporte une redondance de caractères (exemple : 2 fois la lettre E) sinon il sera impossible

le nom de code de César , est l'une des techniques les plus simples et les plus connues de cryptage. Il s'agit d'un type de chiffrement par substitution, dans lequel on décale juste d'un certain nombre, les lettres de l'alphabet. Il s'agit d'une permutation circulaire de l'alphabet. Par exemple, avec un décalage de 3: A serait remplacé par D, B deviendrait E, [...] Y devient B, et Z devient C. La méthode consiste a relever les occurrences d'apparition des lettres dans le message. Ensuite

considérant l’application f : E → E définie par f (X) = AX, montrer que A−1 ∈ E. Exercice 37 [ 01267 ] [correction] [Matrices de permutation] Soit n ∈ N\ {0, 1}. Pour σ ∈ Sn , on note P (σ) = δi,σ(j) Structures formées par un ensemble de matrices Exercice 36 [ 01266 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de la forme  a M (a, b, c) =  0 0 ∈ Mn (R) appelée matrice de permutation associée à σ. a) Montrer que ∀(σ, σ ) ∈ S2n , P (σ ◦ σ ) = P (σ)P (σ ) b) En déduire que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe