Polynôme

I. Polynômes Définition / Vocabulaire : Un monôme est une expression de la forme : a x n ou a est un nombre réel et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme. • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3 • -2 / x n'est pas un monôme • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3 Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme. • • • • 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré -x3 + 4x - 9 est

x < b II] Polynôme du premier degré A] Equation du premier degré L’équation : ax + b = 0 admet comme solution unique si a ≠ 0 S = {- } a b B] Signe d’un polynôme du premier degré Soit le polynôme P(x) = ax + b, pour étudier son signe, il suffit de chercher la valeur qui l’annule et de dresser le tableau de signes : x P(x) -∞ Signe de –a b a +∞ Signe de a 0 Dès que vous avez une inéquation à résoudre, il faut obligatoirement faire une étude de signes. III] Polynôme du second degré

a(x - x1)(x - x2) (x1 et x2 étant deux réels) * • Plus généralement on appelle fonction polynôme de degré n (n ∈ IN ) , une fonction f définie sur IR par : f(x) = anxn + an-1 xn-1 + 3 + a1x + a0 , an ; an-1 ; 3 ; a1 ; a0 étant des réels avec an ≠ 0. Exemples : f définie par f(x) = -2x5 + 3x4 + x2 + 2x - 1 est une fonction polynôme de degré 5 . g définie par g(x) = 1 x6 - x 3 est une fonction polynôme de degré 6. 2 Exercice 01 (voir réponses et correction) 1°) a) Justifier que les

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a

Théorème Le polynôme Irr a K est irréductible dans K X . Démonstration Sinon, on pourra l’écrire sous la forme Irr a K gh où g et h sont deux polynômes de degré inférieur au degré n de Irr a K . Mais, nous avons qui implique g a 0 ou h a 0. Dans le premier cas, nous aurons g I a et Irr a K divise g, et dans le second cas, h I a et Irr a K divise h ce qui est impossible vu les degrés de ces polynômes. Remarque Nous avons Le théorème précédent justifie la notation Irr a K pour le polynôme minimal

PARTICULIERE de L'EQUATION COMPLETE (I) 4.1.. Formes classiques du second membre. • ϕ( x ) = Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n 2 © dpic – inpl – mai 1999 Equations différentielles linéaires du 2ème ordre. U.M.N. 13. c≠0 ySP ( II ) = Qn ( x ) c = 0 et b ≠ 0 ySP ( II ) = xQn ( x ) c=b=0 ySP ( II ) = x 2Qn ( x ) Cours. avec Qn polynôme de degré n • ϕ( x ) = e mx Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n et m ∈ R∗ ou bien, on effectue le changement de fonction inconnue y = e mx z avec z fonction

{ j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels . Q z = z − j z −  z  j z  n= z 2z 1 z 2−z 1 j j Ex 2 Montrer que l'équation : P  z= z 31−i  z 24−i  z− 4i=0 a une solution imaginaire pure ib avec b ∈ℝ . En déduire une factorisation

Fiche de revision Maths 2021 première - Fonction polynôme du second degré - exercices corrigésEPREUVE DE MATHS - Première 
 Fonction polynôme du second degré Exercices corrigés �1 Fonc%on polynôme du second degré Exercices corrigés Exercice 1 : f(x) = 3x² - x + 7 Résoudre f(x) = 0 f(x) est la somme d’un carré et d’un nombre posi?f. Donc l’équa?on n’a pas de solu?on S = D . D = 1 – 84 = - 83 &lt; 0 donc S = D Exercice 2 : a/ - 2x² + x – 1 = 0 D = - 7 &lt;

Chapitre 2 : Int´egration num´erique I. Motivation : calcul approch´e d’int´egrales Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 M´ethodes des rectangles Approximation par une fonction constante par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5

ANALYSE TEMPORELLE DES PRINCIPAUX PROCESSUS 1 Signaux d’entrée Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2 A. 1er ordre à constante de temps FONCTION DE TRANSFERT : H= K 1+ T s 1 s+ 1 T REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K K = × 1+ T s T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T t y I (0 ) = K T K T y I′(0 ) = − y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote