Polynôme

Augustin Colas & Chi Hak Uy 4 L’interpolation par les polynômes de Zernike Afin de pouvoir analyser la performance du système, il est primordial de pouvoir analyser le front d’onde. Grâce aux polynômes de Zernike et aux mesures, on peut extrapoler la forme du front d’onde donc rationnaliser et quantifier l’étude comparative du front turbulent, du front d’onde corrigé et du front d’onde théorique (Spectre de Kolmogorov). Les polynômes de Zernike ont été conçus pour permettre de décomposer les

méthode est utilisée pour factoriser un polynôme ou pour décomposer en éléments simples une fraction rationnelle. On la rencontre dans des questions du type : « Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, f (x) = . . . ». 2 Rappels de cours Dans ce paragraphe, P et Q sont deux polynômes définis sur un même domaine D. £   Définition 2.1 On dit que P et Q sont identiquement égaux si, pour tout x de D : P (x) = Q(x) ¢ ¡ Exemple. Les polynômes f et g définis sur R respectivement par

1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, fonctions trigonométriques Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

donc dérivable sur  et pour tout                                       Applications aux fonctions polynômes Propriété Toute fonction polynôme est dérivable sur  Exemple Soit P la fonction polynôme définie par :  On pour tout  ,  Où  Les fonctions u, v, t et w sont dérivables sur  et on a, pour tout                           On en déduit que la fonction polynôme P est dérivable sur                                 et pour tout  Produit de deux fonctions

Utilisation de la calculatrice TI 89 Titanium La TI 89 permet de faire du calcul formel, c'est à dire de calculer des dérivées, des primitives, de résoudre des équations y compris avec des paramètres, de factoriser des polynômes ou de développer des expressions, de calculer des intégrales... et encore d'autres choses. Elle permet aussi de faire des calculs en "valeur exacte", donc sans donner d'approximation pour les racines carrées, les logarithmes ou les constantes comme e ou π, ou en valeur approchée

Chapitre 4 – Améliorer ses techniques – Énoncés Exercices corrigés pour améliorer ses techniques Fonction carré Fonction inverse Un peu de logique Fonctions polynômes de degré 2 Fonctions homographiques Exercices 1 à 9 Exercices 10 à 16 Exercice 17 Exercices 18 à 24 Exercices 25 à 27 Math'x seconde © Éditions Didier 2010 Chapitre 4 – Améliorer ses techniques – Énoncés Fonction carré Exercice 1 Déterminer les images par la fonction carré des nombres : . voir le corrigé

CHAPITRE 1 : Second degré I. Polynômes du second degré et paraboles 1) Formes d’un polynôme du second degré Un polynôme de degré 2 de la variable réelle x s’écrit ax2+bx+c avec a, b, c réels et a≠0. (On parle aussi de trinôme de degré 2.) f : x  ax2+bx+c est une fonction polynôme de second degré, définie sur Un polynôme du second degré peut s’écrire sous 3 formes : - Développée : f(x)=ax2+bx+c (a≠0) - Canonique : f(x)=a(x-)2+  : alpha  : beta - Factorisée : f(x)=a(x-x1)(x-x2)

bio., éco ... sont décrits par des fonctions. Phénomène ondulatoire (ECG, Echographie ...) Réponse impulsionnelle (marqueur biologique après injection,...) Construire un modèle avec un petit nombre de fonctions usuelles : • fonctions polynômes × • fnct racine carrée = • fncts trigo. (sin,cos, tan) 2 • fncts exponentielle et logarithme Mathématiques PACES 2012 Analyse : notions élémentaires Introduction Définitions élémentaires Fonctions usuelles Opérations sur

coordonnées de v = (1 + i, 1 − i, i) dans cette base. Indication Correction Vidéo [001006] Exercice 5 1. Soit E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Montrer que toute famille de polynômes {P0 , P1 , . . . , Pn } avec deg Pi = i (pour i = 0, 1, . . . , n) forme une base de E. 2. Écrire le polynôme F = 3X − X 2 + 8X 3 sous la forme F = a + b(1 − X) + c(X − X 2 ) + d(X 2 − X 3 ) (a, b, c, d ∈ R) puis sous la forme F = α +β (1+X)+γ(1+X +X 2 )+δ (1+X +X

TP Mathématiques appliquées ESAT TP2 : Interpolation polynomiale Objectif : Au cours de ce TP nous serons amenés à programmer les différentes méthodes d’évaluation d’un polynôme en un point. I. Interpolation de Lagrange et méthode des moindres carrés Exercice 1 : Les masses volumiques du matériau pour différentes températures sont données par le tableau ci-dessous : i 1 2 3 Température T (en °C) 94 205 371 Masse volumique R(T) : (en kg/m3) 929