Polynôme

Augustin Colas & Chi Hak Uy 4 L’interpolation par les polynômes de Zernike Afin de pouvoir analyser la performance du système, il est primordial de pouvoir analyser le front d’onde. Grâce aux polynômes de Zernike et aux mesures, on peut extrapoler la forme du front d’onde donc rationnaliser et quantifier l’étude comparative du front turbulent, du front d’onde corrigé et du front d’onde théorique (Spectre de Kolmogorov). Les polynômes de Zernike ont été conçus pour permettre de décomposer les

préparation .............................................. 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ............

Augustin Colas & Chi Hak Uy 4 L’interpolation par les polynômes de Zernike Afin de pouvoir analyser la performance du système, il est primordial de pouvoir analyser le front d’onde. Grâce aux polynômes de Zernike et aux mesures, on peut extrapoler la forme du front d’onde donc rationnaliser et quantifier l’étude comparative du front turbulent, du front d’onde corrigé et du front d’onde théorique (Spectre de Kolmogorov). Les polynômes de Zernike ont été conçus pour permettre de décomposer les

binaire anneau Z sous- groupes de Z division euclidienne dans N et Z congruence, anneau Z/nZ nombres premiers, corps Z/pZ décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers PGCD et PPCM. APPLICATIONS 1- Fonctions polynômes zéros d'une fonction polynôme f méthodes de factorisation de f(x) différentes écritures de f(x) signe de f('x) suivant les valeurs de x. 2- Fonctions rationnelles Zéros d'une fonction rationnelle f Différentes écritures de f(x) Signe de f(x) suivant les valeurs

EC1 Devoir Maison N°2 pour le 13 octobre 2011 Exercice Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme Pn par : Pn = ou si on note [n/2] la partie entière de n/2 : [n / 2] n +1  2 k n−2k (−1) k   2k + 1(1 − X ) X  0≤ 2 k ≤ n   ∑ Pn = 1. Vérifier que P0 = 1 ; P1 = 2X ; P2 = 4 X2 – 1 2. Montrer que ∀ n ∈ N, Pn (-X) = (-1)n Pn(X) . ∑ (−1) k =0 k n +1  2 k n −2k   2k + 1(1 − X ) X    et calculer P3. 3. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour

suffisamment dérivables) au voisinage d'une abscisse x0 : Lorsque x est proche de x0, on a : ƒ(x) ƒ(x0) + ƒ '(x0)(x − x0) + ƒ"(x0) ( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) 3 ( x − x0 ) n + ƒ'"(x0) + ... + ƒ(n)(x0) 2 6 n! (Si, si ! Le membre de droite est un polynôme en x de degré n...) Dans cette formule, l'entier n s'appelle "l'ordre du développement de Taylor" et ƒ(n) désigne la dérivée nème de ƒ. 1. Utiliser la formule de Taylor à l'ordre n = 1 pour obtenir une approximation affine P1 de ƒ en x0 = 1. 2. Utiliser

la liberté de la famille de fonctions (fa )a∈R . no 9 (**) : Montrer que toute suite de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Montrer que toute suite de polynômes non nuls de valuations deux à deux distinctes est libre. no 10 (**I) : E = Rn [X]. Pour 0 de E. k n, on pose Pk = Xk (1 − X)n−k . Montrer que la famille (Pk )0 k n est une base no 11 (**I) : (Polynômes d’interpolation de Lagrange) Soient a0 ,..., an n + 1 nombres complexes deux à deux distincts

Dbo( x) + Nbo( x) = (1 − z P1x)(1 − z P1x)∏ (1 − z Pk x) Les pôles secondaires z Pk sont des pôles non dominants de la FTBF(z). Aussi leur module sera tel que z Pk < 0,1 .Le plus souvent ces pôles peuvent être reportés à l’origine z Pk = 0. Les polynômes et sont solutions de l’équation polynomiale : (1 − x) n +1 Dg − 11.1.3. EXEMPLE + K C g 0 xNg1− = Dbf = (1 − z P1 x)(1 − z P1 x)∏ (1 − z Pk x) k Reprenons le système de commande étudié en 9.3.3. et 9.4.3. yc (t ) + _ ε (t) T

E(X) et m > E(X), montrer que: p E(X)j 2V (X) Exercice 2 E est l’ espace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels et de degré inférieur ou égal à 3. On désigne par f l’ application qui à un polynôme P de E associe le polynôme f (P ) dé…ni par: 8x 2 R : f (P )(x) = P (x + 1) + P (x) 1) Montrer que f est un endomorphisme de E. 2) On nore B la base usuelle de E constituée, dans cet polynômes 1, X, X 2 , X 3 . 0 2 B 0 Montrer que la matrice de f dans la base B est B @ 0 0 3) Montrer

une suite (Rk ) k∈N∗ de polynômes par : pour tout réel x, R1 (x) = x, R2 (x) = x 2 − 2, et pour tout entier k supérieur ou égal à 2, Rk+1(x) = xRk (x) − Rk−1 (x). (a) Déterminer les polynômes R3 et R4 . (b) Quels sont le degré de R1 ; R2 et R3 ? Quels sont leurs coefficients dominants ? 1 (c) Soit x un réel non nul, on pose : y = x + . x Calculer R1 (y), R2 (y), R3 (y). (d) Montrer par récurrence double ([A]) que, pour tout entier k strictement positif, Rk est un polynôme de degré k vérifiant pour