Polynôme

consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons

définie par : ( ) 1. Montrer que est inversible et calculer son inverse 2. En déduire , pour tout entier. Allez à : Correction exercice 29 . Exercice 30. Soit la matrice de définie par : ( ) 1. Calculer . 2. Trouver un polynôme de degré 2 tel que ( ) 3. En déduire . 4. Retrouver par une autre méthode. Allez à : Correction exercice 30 Exercice 31. Soit ( 1. Calculer 2. Exprimer 3. Exprimer ) et . Calculer en fonction de , et . en fonction de , et .

d'équation x = 2. 1.15 D'abord factoriser le polynôme par la Règle d'Horner CORRECTION Ce cas indéterminé pourrait se résoudre par la règle de l'Hospital. Cependant je vous propose d'utiliser plutôt la Règle d'Horner pour factoriser le polynôme du troisième degré au numérateur. Nous pourrons ainsi simplifier la fraction et lever l'indétermination. Comment utiliser la Règle d'Horner ? La règle d'Horner est une technique facile pour diviser un polynôme par un diviseur tel que(x - a), a appartenant

compétences lui permettant de traiter des situations relatives : - aux Calculs algébriques (Calcul numérique, Calcul littéral, Equations et inéquations, Systèmes linéaires) , - aux Fonctions numériques (Généralités sur les fonctions, Etude de fonctions polynômes et de fonctions rationnelles, Fonction logarithme népérien, Fonction exponentielle népérienne, Primitives et Calcul intégral, Suites numériques) , - à la Modélisation d’un phénomène aléatoire (Dénombrement, Probabilités) , - à l’organisation

Moakher Septembre 2011 Table des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 Environnement Matlab Commandes d’environnement Éléments d’aide de Matlab Opérations arithmétiques simples, scalaires et chaînes de caractères Construction et opérations sur les vecteurs Polynômes Construction et opérations sur les matrices Structures conditionnelles et itératives 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 5 7 7 8 9 11 11 14 Opérateurs booléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Structure conditionnelle ‘if’ . . . . . . . .

7 . . 7 . 7 . 8 . 9 . 10 Dans ce chapitre, l’anneau ( , +, ×) désigne ( , +, ×) ou ( [X ], +, ×). Pour a ∈ , on note |a| : la ˜ valeur absolue de a si = et |a| = deg(a) si = [X ]. Pour a ∈ non nul, on note a : la valeur absolue de a si = et le polynôme a normalisé si = [X ]. I) 1) Divisibilité Rappels • Division euclidienne dans : Soient a, b ∈ avec b = 0, alors il existe q, r ∈ uniques tels que a = bq + r avec 0 r < |b| . Soient A, B ∈ [X ] avec B = 0, alors il existe Q, R ∈ [X ] uniques

............................................ 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse .........

fonctions les plus faciles à évaluer numériquement sont les polynômes. Il est donc important de savoir approximer une fonction arbitraire par des polynômes. Dans la suite, on désignera par Pn l'espace vectoriel des fonctions polynômes sur R à coecients réels, de degré inférieur ou égal à n. On a donc dimPn = n + 1. Soit f ∈ C 0 ([a, b]) et x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b] n + 1 points distincts (n ≥ 0 est un nombre entier). On cherche un polynôme p de degré n tel que p(xi ) = f (xi ), 0 ≤ i ≤ n

réelle, 0 ; Cette formule est utile en particulier pour linéariser les polynômes trigonométriques (dans le but par exemple de calculer leurs intégrales). Un polynôme trigonométrique est une somme de termes du type (sin θ)p (cos θ)q avec p, q ∈ N ; le linéariser, c’est l’exprimer comme une somme de termes de la forme sin kθ ou cos kθ. Pour cela, on commence par remplacer grâce à la formule de Moivre dans le polynôme eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ et cos θ = . Puis, à l’aide de la tous les cos θ

et non-linéaire d’ordre 2 On voit bien sur la figure A11 que les points répondent à une distribution qui s’aligne sur un morceau de parabole de type polynôme de degré 2 : Y ' = a1 X 2 + a 2 X + b Il s’agit en fait d’une régression linéaire multiple à partir d’une même variable X dont les termes sont élevés à la hauteur du degré du polynôme selon la formule générique : Y ' = a1 X 1 + a 2 X 2 + ... + a n X n + ε Dans l’exemple présenté plus haut, un ajustement d’un degré 2 permet d’obtenir