Polynôme

Fonctions1 SEQUENCE: POLYNOME DU SECOND DEGRE Al Khwarizmi Al Khwarizmi (Abu Ja'far Mohammed Ben Mussa Al-Khwarismi) est né vers 780 dans la région de Khwarezm (aujourd'hui Khiva), au sud de la Mer d'Aral (Ouzbékistan), et mort à Bagdad en 850. De 813 à 833, il fait partie de le Maison de la Sagesse, académie fondée à Bagdad par le calife Abd Allah al Mahmoun (786-833). On connaît en Occident son manuscrit d'algèbre "Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w'al-Muqàbala " , traitant de la

DECOMPOSTION PRIMAIRE D’UN POLYNOME 1 Réduction d’endomorphismes Diagonalisation de matrices A. DAOUDI Notions abordées I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice II. Sous-espace propre associé à une valeur propre III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes Groupes quotients 0.4 0.5 0.6 0.7 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses conséquences 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 La division euclidienne . . . . . . . . . . . . .

c a+c c x a+c ou x−a ou x −c a−c 7.8. Les polynômes Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Définition 10 Un polynôme à coefficients dans R est une expression de la forme P(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 2 x2 + a 1 x + a 0 , avec n ∈ N et a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ R. – Les a i sont appelés les coefficients du polynôme. – Si tous les coefficients a i sont nuls, P est appelé le polynôme nul, noté 0. – On appelle le degré de P le plus grand

2009-2010 FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX Table des matières I Définitions 1 3 4 II Variations et représentation graphique III Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P I Définitions Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme P (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a = 0. Exemple 1 Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas ! fonctions polynôme de degré 2 P (x) = 2x2

de fonctions 1ère : Deuxième degré - 2 I – Fonction polynôme de degré 2 a) Degré d’un polynôme Définition Le degré d’un polynôme est la plus grande puissance de l’inconnue. Exemples a) 𝑥3 − 5 𝑥2 + 𝑥 − 6 est un polynôme de degré 3 b) 𝑥3 − 5 𝑥2 + 𝑥4 − 6 est un polynôme de degré 4 c) 17 𝑥15 − 15 𝑥17 est un polynôme de degré 17 d) 3 𝑥 + 2 est un polynôme de degré 1 ...car 3 𝑥 + 2 = 3 𝑥1 + 2

message reçu. Ann´ee 2003-2004 – p.11/22 Le CRC (1) Représentation sous forme polynomiale des suites de bits à transmettre : M =m1 m2 ...mn ⇒ représentée par le polynôme I(x) = mn + mn−1 x + ... + m1 xn−1 Exemple : La suite 11000101 est représentée par le polynôme x6 + x5 + 0x4 + 0x3 + x2 + 0x + 1 = x6 + x5 + x2 + 1 Utilisation de polynômes générateurs possédant des propriétés mathématiques particulières : CRC-12 = x12 + x11 + x3 + x2 + x + 1 CRC-16 = x16 + x15 + x2 + 1 CRC-CCITT = x16 + x12 + x5

Plan du cours •  •  •  •  Introduction : Notion de code Définition, distance, effacements et erreurs Code de Hamming Codes détecteurs d erreur –  LFSR et polynômes. Corps de Galois. –  Codes CRC –  Propriétés. Applications •  Codes correcteurs : Code linéaire, Reed Solomon –  Codes cycliques et Reed-Solomon •  Autres codes et applications –  Rafales d erreurs. Code CIRC. 55 Exemple: contrôle de parité dans TCP 7 Application (HTTP,FTP, DNS) 4 Transport (TCP, UDP)

entier vérifiant 1 r n. 3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note Rr−1 [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r − 1. On considère l’application linéaire φ de Rr−1 [X] dans Rr définie par : P → (P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λr )). Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme L de Rr−1 [X] tel que pour tout i ∈ {1, . . . , r}, L(λi ) = eλi . 4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par : r

est en B. Quand t parcourt l’intervalle [0, 1], il est clair que le point M(t) décrit tout le segment [AB]. A Définition 1 : M(t) B Le segment [AB] est la courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôle A et B. Les polynômes 1 − t et t sont les polynômes ou poids de Bernstein de degré 1. 1.2.ii) Courbe de Bézier de degré 2 Construisons une autre courbe en rajoutant une 2ème étape à ce qui précède : 1ère étape : 2 courbes de Bézier de degré 1 : • Soit M1 (t) le barycentre de (A,